03 Временнaя и пространственная дисперсии

Лекция № 3

Временнáя и пространственная дисперсии

Для описания электромагнитных свойств среды помимо уравнений поля необходимы еще материальные уравнения. Установление их конкретного вида, вообще говоря, выходит за рамки электродинамики - это задача микроскопической атомно-молекулярной теории рассматриваемого класса сред. Однако, даже не имея явных конкретных выражений для материальных уравнений, можно довольно много сказать о виде этих уравнений (а стало быть, и об электромагнитных свойствах сред данного типа), опираясь на общие физические принципы (принцип причинности, принцип симметрии и т.д.). В переменных и неоднородных полях такой безмодельный (феноменологический) подход к анализу материальных уравнений базируется на представлениях о временнóй и пространственной дисперсии. Представления о пространственной и временнóй дисперсии в равной мере могут быть введены для любого материального уравнения, однако для определенности мы будем говорить о материальном уравнении вида D = D(E).

1. Материальные среды в переменных полях. Временнáя дисперсия.

Рассмотрим вначале только однородные в пространстве поля. Для постоянных во времени полей возникающая поляризация также постоянна. Кроме того, в изотропной среде вектор D будет направлен туда же, куда направлен вектор Е. Равенство, связывающее D и Е, в этом простейшем случае имеет вид

Величина , показывающая во сколько раз индукция электрического поля D отличается от напряженности поля Е, называется относительной диэлектрической проницаемостью среды. В анизотропной среде соотношение, связывающее D и Е, становится тензорным:

где ij - тензор диэлектрической проницаемости среды.

В случае переменного поля для материального уравнения часто можно сохранить соотношение (1):

Так как составляющие среду заряженные частицы обладают конечной массой и связаны друг с другом различными взаимодействиями, среда обладает определенной инерцией - состояние среды нельзя изменить мгновенно. Равенство (3), следовательно, будет справедливым лишь для достаточно медленно меняющихся полей, для которых среда в каждый момент времени успевает подстроиться под меняющееся поле и поляризация среды происходит, как в постоянном поле.

Если же поля меняются достаточно быстро, то реакция среды (в нашем случае D) на действующее в среде поле (у нас это поле Е) должна запаздывать по сравнению с меняющимся полем. Другими словами, индукция в момент времени t должна определяться полем не только в момент времени t, но и в другие моменты времени. Следовательно, материальное уравнение, связывающее D и E, в переменном поле в общем случае должно иметь вид

t

___________________________________________________________________________________

При записи этого соотношения мы учли также принцип причинности, т.е. тот факт, что индукция может зависеть от значений поля лишь в моменты времени t', предшествующие моменту наблюдения t.

Таким образом, не рассматривая конкретное строение среды, мы из общих физических представлений пришли к выводу, что в переменном поле материальное уравнение в общем случае будет иметь вид (4). Различные среды будут отличаться видом ядра (t,t'), определяющего связь между D(t) и E(t') и называемого функцией диэлектрической проницаемости в переменном поле. Соответственно, различные среды будут отличаться условиями, при которых соотношение (4) переходит в (3), т.е. условиями, при которых можно пренебречь запаздыванием в реакции среды на действующие в среде поля.

Запаздывание реакции среды на действующие в ней поля называют временнóй дисперсией в среде. При этом применительно к (4) говорят о временнóй дисперсии диэлектрической проницаемости. Отметим, что случаю, когда временнáя дисперсия несущественна (т.е. когда равенство (4) переходит в (3)), соответствует следующий вид функции диэлектрической проницаемости:

Таким образом, математически временнáя дисперсия проявляется в отличии функции (t,t') от функции.

Простые физические соображения позволяют еще более конкретизировать вид материального уравнения. Для весьма распространенного случая стационарных сред (т.е. сред, свойства которых не меняются со временем) функция (t,t') будет зависеть только от разности t- t'. Это следует из однородности времени – процесс не зависит от начала отсчета времени, а только от разности времен. Тогда равенство (4)принимает вид

t

из которого наглядно видно, что D(t) запаздывает по сравнению с E(t).

Воспользовавшись преобразованием Фурье1, которое для некоторой функции F(t) имеет

вид

F(t) 1 F( )exp( i t)d ;

2

(8)

F( ) F(t)exp(i t)dt,

можно показать, что линейная интегральная связь с разностным ядром (6) перейдет в алгебраическое соотношение для фурье-компонент:

1 Встречается также симметричная запись интеграла Фурье, при этом перед интегралами в обоих выражениях стоит множитель 1/ 2 .

___________________________________________________________________________________

где благодаря тому, что в соответствии с принципом причинности функция (t-t') считается равной нулю для отрицательных значений аргумента, выражение для ( ) через (t-t') будет содержать интегрирование лишь по положительным значениям =t-t':

Величина ( ), как видим, описывает реакцию среды на отдельную фурье-компоненту поля, т.е. на периодическое поле частоты . В этом смысле ( ) является диэлектрической проницаемостью среды по отношению к периодическому полю частоты .

При отсутствии временнóй дисперсии ( ) ( ) и ( ) превращается в константу:( )= Таким образом, временнáя дисперсия проявляется в зависимости диэлектрической проницаемости в периодическом поле ( от частоты этого периодического поля. Поэтому о временнóй дисперсии говорят еще как о частотной дисперсии диэлектрической проницаемости среды (или, имея в виду и материальные уравнения другого вида, просто как о частотной дисперсии в среде). В оптике свойства среды описываются показателем преломления, связанным с диэлектрической проницаемостью. Частотная зависимость последней будет приводить к частотной зависимости и показателя преломления. Таким образом, обсуждаемая временнáя дисперсия - это фактически хорошо знакомая нам из оптики частотная дисперсия показателя преломления.

Итак, под временнóй дисперсией мы будем понимать запаздывание реакции среды на действующие в ней поля, т.е. наличие определенной инерционности среды. Физической причиной такой инерционности является конечность массы частиц, образующих среду, и взаимодействия (в том числе и столкновения), действующие между частицами среды. Часто с взаимодействиями между частицами среды связаны некоторые характерные частоты (резонансные или релаксационные). Частотная дисперсия материальных тензоров тогда наиболее существенна вблизи этих частот.

Физические условия, при которых можно пренебречь временнóй дисперсией, понятны. Любая материальная среда характеризуется временем (различным для разных сред), за которое она успевает подстроиться под меняющееся поле, - временем релаксации среды. Тогда ясно, что для полей, характерное время изменения которых велико по сравнению со временем релаксации среды, среда будет успевать подстроиться под поле и временнóй дисперсией можно пренебречь. В противном случае временнáя дисперсия оказывается существенной.

Покажем, как возникает это условие из рассмотрения соотношения (6). Из физических соображений ясно, что вклад значений поля в моменты времени, бесконечно далекие от момента наблюдения, должен стремиться к нулю. Это означает, что функция (t t') ( )

должна спадать с ростом . Далее, тот факт, что функция ( ) должна быть не просто

спадающей, но иметь характерное время спадания (оно будет, конечно, порядка времени релаксации среды). Действительно, поляризация в данный момент должна фактически зависеть от значений поля в моменты времени, отстоящие от момента наблюдения не далее чем на время релаксации среды.

Рассмотрим теперь поле с характерным временем изменения Т. Для поля, периодически меняющегося с частотой , например, это будет период поля Т=2 / ; для нарастающего (спадающего) поля - время нарастания (спадания) поля; для импульсов - их длительность и т.д. Тогда под интегралом в (7) будет стоять произведение двух функций с характерными временами изменения 0 и Т. Если Т>> 0, то Е(t- ) будет плавной функцией по сравнению с ( ) и ее можно разложить в ряд вблизи максимума функции ( ) (т.е. вблизи ):

___________________________________________________________________________________

где

Сравнение (11) с (3) показывает, что временной дисперсией можно пренебречь, если

Для полей, имеющих характерное время изменения Т, справедлива оценка (верная по порядку величины)

Аналогично, если функция ( ) существенно отлична от нуля только в области порядка 0, то

Характерный временной масштаб изменения этой функции будет порядка характерных времен, связанных с микроскопическим поведением частиц среды (таких как, например, периоды или времена релаксации колебаний частиц, времена свободного пробега и т.п.). Таким образом, временнóй дисперсией можно пренебречь, если характерное время изменения поля велико по сравнению со временем, характеризующим микроскопическое поведение частиц среды.

Равенство (11) дает нам еще один взгляд на временнýю дисперсию как на учет того факта, что в быстро меняющихся полях реакция среды (в нашем случае D) зависит не только от значений поля, но и от его производных по времени (от скорости изменения поля и т.д.)

2. Материальные среды в неоднородных полях. Пространственная дисперсия.

Перейдем к рассмотрению неоднородных полей, которые для простоты пока будем считать независящими от времени. В случае достаточно плавно меняющихся полей поляризация среды будет происходить так же, как и в однородном поле, и материальное уравнение, связывающее D и E, можно записать в виде

С переходом к сильно неоднородным полям равенство (17) перестает быть справедливым.

дискретных зарядов, связанных друг с другом различными взаимодействиями (в том числе и столкновениями). Поэтому поляризация в данной точке пространства (т.е. смещение зарядов под действием поля) определяется значениями поля не только в данной точке, но и значениями поля в точках, отстоящих от точки наблюдения на расстояния порядка радиуса взаимодействия.

___________________________________________________________________________________

Для сильно меняющихся в пространстве полей эти значения поля могут существенно отличаться. Материальное уравнение в этом случае должно носить нелокальный характер:

Di (r) 0 ij (r,r')Ej(r')dV'. (18)

Интегрирование здесь идет по всему объему среды, и мы учли, что благодаря зависимости ядра, определяющего такую нелокальную интегральную связь, от векторов (в том числе и от их направления) даже в изотропной среде соотношение, связывающее D и E, может быть тензорным. Компоненты тензора ij (r,r')здесь не зависят от самого поля, а определяются

конкретным строением рассматриваемой среды; этот тензор называется тензором диэлектрической проницаемости в неоднородном поле.

Зависимость поляризации в данной точке пространства (в нашем случае это D(r)) от значений поля в других точках пространства называется пространственной дисперсией в среде. Применительно к равенству (18) при этом говорят о пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости среды.

Случаю, когда пространственная дисперсия несущественна, соответствует следующий вид тензора ij (r,r'):

Математическим проявлением пространственной дисперсии, таким образом, будет отличие функций ij (r,r') от ij (r-r').

Замена ij (r,r')на ij (r-r')связана с однородностью пространства.

Воспользовавшись пространственным преобразованием Фурье2, которое для некоторой

пространстве поле с волновым вектором k. Ее часто называют диэлектрической проницаемостью по отношению к неоднородному полю (а иногда короче - просто неоднородной диэлектрической проницаемостью). Пространственная дисперсия в ij (k)проявляется именно в зависимости компонент этого тензора от волнового вектора k. При отсутствии пространственной дисперсии диэлектрическая проницаемость ij (k) не зависит от k

Таким образом, под пространственной дисперсией понимается нелокальная связь между величинами, описывающими реакцию среды, и вызвавшими эту реакцию полями. Физической

2 Здесь dk и dr - это элементы интегрирования по объему(dk = dkxdkydkz , dr= dxdydz).

___________________________________________________________________________________

Таким образом, пространственной дисперсией можно пренебречь, если поля достаточно плавно меняются в пространстве, а именно - характерный пространственный масштаб изменения поля должен быть велик по сравнению с параметром, характеризующим микроскопическое поведение частиц среды, имеющим размерность длины.

Равенство (23) показывает, что пространственная дисперсия означает учет зависимости поляризации в данной точке не только от значений поля в этой точке, но и от его пространственных производных.