01 Элементы векторного анализа

Лекция №1

Основные части и структура классической электродинамики. Элементы векторного анализа и математической теории поля.

1. Исходные представления классической электродинамики

Классическая электродинамика - область физики, в которой изучаются классические (неквантовые) свойства электромагнитного поля и движущихся электрических и (гипотетических) магнитных зарядов, взаимодействующих друг с другом посредством этого поля.

Электромагнитное поле - физическое поле, взаимодействующее с электрически заряженными частицами вещества, а также с частицами, имеющими собственные дипольные и мультипольные электрические и магнитные моменты.

Электромагнитное взаимодействие - одно из четырех фундаментальных взаимодействий элементарных частиц (наряду с гравитационным, слабым и сильным), характеризуемое участием в нем электромагнитного поля. Электромагнитное взаимодействие определяет (на основе законов квантовой механики) возможность устойчивого состояния атомов и молекул.

В настоящее время сосуществуют две концепции электромагнитного поля - классическая и квантовая. Макроскопическое (классическое) электромагнитное поле рассматривается как непрерывное силовое поле, обладающее распределенной энергией, массой, импульсом и моментом импульса. В квантовой физике электромагнитное поле интерпретируют как газ элементарных частиц "фотонов" (квантовая электродинамика). Согласованность этих двух противоположных, на первый взгляд, концепций объясняется тем, что фотоны имеют целый спин и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна, т.е. способны образовывать конденсат - занимать одно и то же квантовомеханическое состояние. Конденсат большого числа фотонов определяет свойства классического электромагнитного поля.

Свойства электромагнитного поля "в чистом виде" проявляются при изучении действия его источников в вакууме. Всякая материальная среда состоит из простейших частиц - атомов, электронов, молекул, которые всегда обладают определенными электромагнитными свойствами. Эти их свойства, а также взаимное пространственное расположение частиц и состояние их движения относительно друг друга являются причиной той или иной реакции данной среды на внешнее поле. С макроскопической точки зрения оказывается по большей части возможным не учитывать дискретности строения вещества и описывать его в виде непрерывного распределения источников поля. Электромагнитные свойства материальных сред чрезвычайно разнообразны, но они описываются с помощью всего двух макроскопических характеристик - электрической поляризации и намагниченности.

Математическую формулировку основных законов электромагнитного поля с учетом макроскопических свойств материальных сред представляет собой система уравнений Максвелла. Такая наиболее общая формулировка должна быть, по возможности, независимой от тех или иных конкретных предположений о микроскопической структуре сред. Разумеется, одна из основных задач физической теории состоит в микроскопическом объяснении наблюдаемых фактов. Более того, именно микроскопическая теория часто позволяет предсказать новые физические явления и способы их наблюдения. Однако феноменологическое описание, которым мы и ограничимся в дальнейшем, имеет свое преимущество: оно использует только характеристики явлений, измеримые хотя бы в принципе с помощью макроскопических приборов. Любая микроскопическая теория со своей стороны должна неизбежно приводить к определенным выводам именно по отношению к феноменологическим характеристикам, предсказывать и объяснять то или иное

________________________________________________________________________________________________

их поведение. Это замечание относится не только к классической электронной теории, но и к современной квантовой теории строения вещества. По меткому замечанию Нильса Бора "недвусмысленное истолкование любого измерения должно быть, по существу, выражено в терминах классических теорий, и мы можем сказать, что в этом смысле язык Ньютона и Максвелла останется языком физиков на все времена".

Электромагнитные поля в вакууме и сплошных средах подчиняются уравнениям Максвелла. Изучение этих уравнений и следствий, к которым приводят их решения, и будет составлять основное содержание нашего курса. Он состоит из двух частей "Электродинамика" и "Электродинамика сплошных сред".

2. Краткая история

Установлению уравнений Максвелла предшествовал ряд открытий законов взаимодействия заряженных, намагниченных и токонесущих тел (законы Кулона, БиоСавара, Ампера). В 1831 году Фарадей открыл закон электромагнитной индукции и ввел понятие электрического и магнитного полей как самостоятельных физических субстанций. Опираясь на фарадееевское представление о поле, и введя ток смещения, равнозначный по своему магнитному действию обычному току, Максвелл (1864 г.) сформулировал систему уравнений, названную впоследствии уравнениями Максвелла. Уравнения Максвелла функционально связывают электрические и магнитные поля с зарядами и токами и охватывают собой все известные закономерности макроэлектромагнетизма.

Физическая основа уравнений Максвелла - принцип близкодействия, утверждающий, что передача электромагнитных возмущений от точки к точке происходит с конечной скоростью (в вакууме со скорость света с). Он противопоставлялся ньютоновскому принципу дальнодействия, сводящемуся к мгновенной передаче воздействий на любое расстояние (с

3. Элементы векторного анализа. Дифференциально-векторные тождества.

Математическим аппаратом теории Максвелла послужил векторный анализ - раздел математики, в котором изучаются скалярные и векторные поля и различные операции над ними.

Скалярное поле сопоставляет каждой точке трехмерного пространства некоторое действительное число (r ), а векторное поле - некоторый вектор a = a(r).

г = хi + yj + zk, a = axi + ay j+ azk

Градиент скалярного поля - вектор, направленный по нормали к поверхности уровня ( = const) в сторону возрастания функции и численно равный скорости изменения функции по этому направлению

grad = i + j + kx y z

Для записи градиента можно использовать векторный дифференциальный оператор Гамильтона или набла-оператор -

Операция градиент обладает следующими свойствами: grad( + ) = grad( ) + grad( )

________________________________________________________________________________________________

grad( ) = grad( ) + grad( )

Найдем градиент потенциала точечного заряда q/4 or . Поочередно вычислим проекции вектора градиента на координатные оси:

r2 = x2 +y2+z2, дифференцируем обе части этого тождества по x, получаем 2r r = 2x,

x

отсюда замечательное равенство, которое целесообразно запомнить - r = x .

x r

Итак , gradx = - q/4 o x . Аналогично будут выглядеть две других компоненты вектора. r3

Сам градиент будет иметь вид

E = - grad

Дивергенция - функция, сопоставляющая векторному полю скалярное поле. В декартовых координатах ее выражение:

Операция дивергенция обладает следующими свойствами: div(a+b) = diva + divb div( a) = diva + agrad .

Докажем последнее из равенств

Если дивергенция diva = 0, то векторное поле a называется свободным от источников или соленоидальным (вихревым). Чтоб понять физический смысл дивергенции проанализируем размерность выражения div v, где плотность жидкости, а v - ее скорость; получается [кг/м3с], т.е. это полное количество жидкости, прошедшей через единицу объема в единицу времени, отсюда и название дивергенция или расходимость.

Можно определить операцию ротор как векторное умножение символического оператора на вектор a формулой

В результате получаем новый векторный дифференциальный оператор. Название ротор возникло в связи с тем, что ротор описывает вращение векторного поля a в точке, в которой вычисляется ротор. Пусть имеется твердое тело в плоскости xy, вращающееся вокруг оси z с угловой скоростью . Линейная скорость в точке, которая задана радиусомвектором r, равна v= xr. Ротор линейной скорости твердого тела равен удвоенной угловой скорости rotv = 2 . Поле, у которого ротор равен нулю, называется безвихревым или потенциальным.

Операция ротор обладает следующими свойствами: rot (a+b) = rot a + rot b

________________________________________________________________________________________________

rot ( a) = rot (a) – a grad = rot a + grad a.

ay = rotx (a) + (grad xa)x

z

Наиболее важные физические примеры безвихревых векторов дают гравитационные и электростатические силы. В каждом из этих случаев вектор напряженности поля равен

направлению единичного вектора a. Вообще говоря, выполнение операции a над произвольной функцией точки эквивалентно умножению производной от этой функции, взятой по направлению вектора a, на численную величину вектора a:

a = a .

a

Выполняя операцию a над произвольной скалярной функцией, получим скаляр

Выполняя же операцию a над произвольным вектором b , получим вектор:

В дальнейшем мы будем весьма широко пользоваться символическим методом вычисления с помощью оператора Гамильтона . Есть такое правило - оператор применяется только к одному из сомножителей, для чего его метят знаком ~(символ того, что он является переменным). Полученные таким образом тройные произведения складывают и преобразуют по правилам векторной алгебры так, чтобы стояло на предпоследнем месте перед множителем, снабженным знаком ~. После преобразования знак ~ можно отбросить. Формулы, полученные символическим путем при помощи оператора , необходимо проверять обычным аналитическим путем.

Получим с помощью этого правила важное тождество:

~ ~

div (E H) = (E H) = (E H) + (E H)

~~

(E H) = -E H = -E H = -E rotH

________________________________________________________________________________________________

Итак, четвертое и пятое выражения оказались связанными между собой.

5. Интегральные соотношения векторного анализа.

Для получения важных соотношений, используемых в векторном анализе, оказывается полезным следующее интегральное соотношение для оператора Гамильтона

Теорема Стокса - adl = rotadS.

L S

Циркуляция векторного поля a вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора a сквозь поверхность, ограниченную этой кривой (натянутую на этот контур).

Теоремы Остроградского-Гаусса и Стокса представляют собой основные интегральные соотношения векторного анализа, исходя из них, можно получить и ряд других важных соотношений между различными интегралами от скалярных и векторных величин.

1 Так как поверхность интегрирования стягивается в точку при стремлении объема к нулю, интегральный оператор не зависит от формы этой поверхности и можно использовать для него выражение

lim 1 ndS

S 0 V S

________________________________________________________________________________________________

Запишем еще три интегральные теоремы, которые можно получить как следствие уже сформулированных

dl [n grad ]dS dS grad

L S S

ndS dS= grad dV

L L V

[n a]dS dS a rotadV

S S V

6. Потенциальные и соленоидальные поля

Если вектор напряженности поля можно выразить в виде отрицательного градиента некоторой скалярной функции

E = - grad

то будем называть скалярным потенциалом.

Чтобы поле было потенциальным необходимо и достаточно, чтоб оно было безвихревым, т.е. чтоб rot E = 0. Необходимость следует из того, что rot(grad ) =0.

Из теоремы Стокса следует, что для потенциального поля

rotEdSdS = Edl= 0,

S L

т.е. работа сил в потенциальном поле по замкнутому контуру равна нулю. Это условие,

B

очевидно, равносильно утверждению о независимости интеграла Edl, вычисленного между

A

двумя точками А и В от пути.

Все три определения скалярного потенциала попарно эквивалентны, что иллюстрируется следующей схемой:

1.Поле безвихревое

rot E = 0

Векторное поле B называется соленоидальным, если его вектор является ротором некоторого другого вектора, т.е. B = rotA. Это определение не противоречит тому, которое мы давали выше, так как divB = divrotA.

Вектор A называется векторным потенциалом или вектор-потенциалом. Векторный потенциал определяется с точностью до градиента произвольной скалярной функции

Если A векторный потенциал поля, то A' = A + grad описывает то же самое поле. rotA' = rotA + rotgrad = rotA.

Необходимым и достаточным условием соленоидальности поля является равенство нулю его дивергенции divB = 0, из которого заведомо следует равенство нулю потока вектора В через любую замкнутую поверхность.

________________________________________________________________________________________________

Эквивалентность разных определений соленоидального поля демонстрирует нижеследующая схема

1. Поле соленоидальное

divB = 0

Наиболее удобными для практики определениями потенциального и соленоидального полей являются условия 1.

Векторное поле E называется лапласовым, если в любой его точке выполняются равенства - rotE = 0, divE = . Таким образом, лапласово поле является одновременно и потенциальным и соленоидальным. Его скалярный потенциал всегда удовлетворяет уравнению Лапласа.

E = - grad divE = 0; - div(grad ) = - - 2 0.

При дополнительном условии (divA=0) векторный потенциал A также удовлетворяет уравнению Лапласа

E = rotA rotE = rot(rotA) = graddivA - 2 A = 2 A = A= 0.

Основная теорема векторного анализа (теорема Гельмгольца)

Любое непрерывное векторное поле, заданное во всем пространстве и исчезающее на бесконечности вместе со своими дивергенцией и вихрем, может быть единственным образом (с точностью до векторной постоянной) представлено в виде суммы потенциального и соленоидального полей.

E = E1 + E2 = - grad + rotA rotE1 = 0 divE1 rotE2 0 divE2 =

________________________________________________________________________________________________

7. Криволинейные координаты

Все соотношения между дифференциальными выражениями нами были приведены для декартовой системы координат. Однако все дифференциальные операции инвариантны по отношению к преобразованию системы координат. Иными словами, значение выражений grad div,a, rota не зависят от выбора системы координат. Однако конкретные выражения векторных операций в криволинейных координатах, естественно, не совпадают с подобными выражениями в декартовой.

Систему координат следует выбирать из условия наилучшего соответствия поставленной задаче, использовать различные условия и симметрию, характерные для рассматриваемой проблемы. Правильный выбор системы координат позволяет быстрее получить решение, выражения принимают простой и удобный вид.

Не вдаваясь в подробности, заметим, что все необходимые выражения для различных дифференциальных операторов можно найти в соответствующих справочниках. Выражения для наиболее распространенных сферической и цилиндрической систем координат приведены в таблице.

ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ОСНОВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

Системы координат