Лекции по ТБА v3

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

41

Пример 2

Если N 30 5 6 5 2 3, то основную теорию разложения можно использовать дважды. Начав с разложения 5 6 , выполнить 6-точечные ДПФ, используя для этого разложение 2 3.

Начнем с нумерации 30-ти отсчетов исходной матрицы сигнала

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

42

Чтобы оценить уменьшение объема вычислений за счет использова-

ния алгоритма БПФ, рассмотрим 2 частных случая:

1. Положим N L M (L и M – простые числа больше 2). Из общей формулы вычисления ДПФ следует, что M-точечное ДПФ требует M 2 опе-

раций. Учитывая это, получим общее число операций для разложения вида

N L M .

C2 M L2 L M 2 L M LM (L M L) N (M L 1) (4.24)

где LM учитывает количество умножений на поворачивающие множители.

Таким образом, с помощью формулы (4.24) можно оценить выигрыш во времени вычислений, характерный для преобразования с использованием

прямом расчете ДПФ как 17:105, т.е. уменьшение числа операций почти на

величину выигрыша при условии, что все числа Ni – простые (и не равны 2).

Если же числа Ni не являются простыми или равными 2, необходимо быть

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

43

осторожными в оценках. Например, как было показано выше, при двух то-

чечных ДПФ умножения вообще не используются. Это же справедливо и для

Ni = 4. При Ni = 8 число умножений существенно меньше 64. В связи с этим при разложении N на 2, 4, 8 полученные формулы не пригодны.

Чтобы получить полученный граф (подобный графам 4.4 и 4.7 для са-

мого общего случая разложения) необходимо расширить круг обозначений.

Это сделано на рис. 4., где 30-точечный массив представлен в виде двумер-

ного массива, содержащего 5 строк и 6 столбцов, со следующими элементами

(числа обозначают номера элементов исходного массива):

На первом этапе БПФ выполняются 6 пятиточечных ДПФ, так, что не закрашенные кружки обозначают полные ДПФ, размер которых равен числу линий, входящих в кружок и выходящих из него.

Узлы графа обозначают регистры, содержащие входные и выходные отсчеты ДПФ. Все выходные отсчеты ДПФ умножаются на поворачивающие множители.

Следующий этап состоит в вычислении ДПФ всех строк. Т.к. строки содержат по 6 элементов, то каждая из них может быть представлена в виде матрицы (2×3). На рис. Каждая 6-ти точечная строка преобразовывается с помощью:

1)трех двухточечных ДПФ;

2)умножений на поворачивающие множители;

3)двух трехточечных ДПФ.

Отметим следующую особенность обозначения. Каждая линия, выхо-

дящая из незакрашенного кружка должна иметь свою стрелку с коэффициен-

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

44

том W. Но, если учесть, что W 0 1, то такой множитель можно опустить.

При нахождении поворачивающих множителей для второго этапа графа на

рис. Необходимо помнить, что для него коэффициент W W305 , поэтому

матрица поворачивающих множителей для каждой из прореживающих сто-

рон исходной матрицы, содержащей 5 сторон и 6 столбцов, имеет вид:

Алгоритм БПФ с основанием 2

Обратимся к алгоритму БПФ не со смешанным основанием, а с фикси-

рованным, т.к. в этом случае значительно проще проводить анализ, програм-

мирование и разрабатывать специализированные устройства.

В принципе разницы между алгоритмом со смешанным и фиксирован-

ным основанием нет. Если N r m , где m-целое, то сначала N представляется

r = 2 можно поступить следующим образом:

1) Пусть отсчеты 0-15 составляют первую строку матрицы размером

(2×16), а отсчеты 16-31 составляют ее вторую строку. Начнем с выполнения двухточечного ДПФ всех 16 столбцов, как показано на рис. , а результаты затем умножим на матрицу поворачивающих множителей, также содержа-

щую 2 строки и 16 столбцов.

2) Пусть каждая строка, подлежащая преобразованию, представляет-

ся в виде матрицы (2×8). Вычислим по 8 ДПФ столбцов каждой из обеих матриц размером (2×8) и умножим их элементы на поворачивающие множи-

тели, рассчитанные с помощью множителя W 2 , матрица которых имеет раз-

мер (2×8). Полученный результат будет соответствовать второму этапу алго-

ритма, граф которого показан на рис…...

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

45

3) Аналогично каждую из строк, содержащих по 8 элементов пред-

ставим в виде матрицы (2×4) затем каждую из строк, содержащих по 4 эле-

мента – в виде матрицы (2×2) которая в данном случае и является конечной целью алгоритма.

РАЗРАБОТКА УСТРОЙСТВ

БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ в СОК

Синтез устройств БПФ в СОК содержит следующие этапы:

1.Выбор системы модулей.

2.Синтез функциональных модулей БПФ в СОК.

3.Аппаратурная реализация алгоритмов БПФ в СОК с заданными свойствами.

4.1.Особенности выбора системы модулей для БПФ в СОК

Наибольшее влияние на число каналов БПФ в СОК оказывает макси-

мальный диапазон результата max, который зависит от числа отсчетов N, раз-

рядности R данных x[nT] и разрядности RW весовых коэффициентов Wk:

где N1=N/2.

Разрядность R входных чисел определяется динамическим диапазоном

D входных сигналов: R=D/6, где D выражено в децибелах. Например, для

наиболее частых случаев ЦОС D=60дБ, т.е. R=10.

Величина RW выбирается, исходя либо из точности дискретизации 1,

либо из заданного отношения среднеквадратичного значения (СКЗ) ошибки к

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

Зная N, D и задаваясь 1( 2), из (4.2-4.5) можно определить систему моду-

лей СОК {NS}, минимизируя и (или) RSmax. Или, напротив, по структуре про-

цессора, вычисляющего алгоритм «бабочка» в СОК, и его быстродействию T2, а

также быстродействию традиционного БПФ в ПСС T1, определяется max T1/T2.

После вычисления N, D и определяется RSmax и система модулей {NS}. Так можно теоретически вычислить верхний предел и {NS}. При этом max 220.

Компьютерное моделирование показывает, что практически макси-

мально возможный результат не превышает 218 для подавляющего боль-

шинства алгоритмов.

4.2. Синтез функциональных модулей БПФ в СОК

Базовой вычислительной операцией быстрого преобразования Фурье является операция, известная под названием «бабочка»:

C A BW k

– с прореживанием по времени;

D A BW k

– с прореживанием по частоте.

D (A B)W k

Для осуществления этих двух преобразований в каждом S-м канале

СОК необходимо провести операции сложения и умножения по соответст-

вующему модулю (будем рассматривать случай прореживания по времени):

В процессе синтеза функциональных модулей БПФ в СОК, характери-

зующихся высоким быстродействием, перед разработчиками возникают про-

блемы, связанные с возрастанием аппаратурных затрат. Для их решения предлагаются следующие способы.

Первый способ заключается в использовании при построении базовых табличных модулей (ТМ) соотношений, вытекающих из свойств СОК:

В качестве таблиц возможно использование ППЗУ (в неперестраивае-

мых структурах) и сверхоперативных ЗУ, загружаемых из основной памяти таблицами выполняемых арифметических операций. Операнды подаются на шину адреса ТМ, с информационных выходов которых снимаются числа

CS и DS. При RSmax 3...4 объем памяти ТМ составляет 256 байт, а при

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

48

RSmax = 5...6 – не превышает 4 Кб, что не составляет проблем при техниче-

ской реализации.

Вторым способом сокращения аппаратурных затрат и увеличения бы-

стродействия является реализация функциональных модулей в СОК на ком-

бинационных операционных схемах (КОС), выполненных в виде заказных СБИС или синтезированных на ПЛМ(ПЛИС). На рис. 4.3 показана такая схе-

ма, в которой совмещен ряд логических операций «И» и «ИЛИ». Двуместная операция БПФ выполняется в два такта. Вначале на матрицы конъюнкций

(МК) через мультиплексоры (MS) подаются числа BS, WSk и BS, VSk , а с выхо-

дов умножителей считываются произведения ПS этих пар. Далее числа ПS и

AS складываются в той же комбинационной операционной схеме в направле-

нии МК-МД2 и на выходах суммирования образуются числа CS и DS.

Рис. 4.3. Схема СБИС

для вычисления БПФ на КОС

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

49

Третьим способом, позволяющим увеличить быстродействие и умень-

шить аппаратурные затраты, является использование логического подхода к построению блока формирования весовых коэффициентов. Этот блок можно

существенно упростить, учитывая, что если BW k r , то

BV k BW k N S r (комбинационная схема, реализующая функцию

(NS – r) как r в обратном коде в вычислительных блоках обозначена через

КС). Общий случай реализации такого упрощенного вычислительного блока

«бабочка», выполняемого в соответствии с формулами 4.6 и 4.7, показан на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Схема упрощенного вычислительного блока «бабочка»

(общий случай)

ряды соответствующих чисел. Тогда упрощенный вычислительный блок «ба-

бочка» в этом канале имеет вид, показанный на рис. 4.5.

A0

Рис. 4.5. Схема вычислителя и шифратора для NS=2