Лекции по ТБА v3

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

21

Последовательность x(nT ) или x(n) получается путем дискретизации непрерывного колебания x(t) с периодом T. Пара преобразований Фурье для непрерывного колебания имеет вид функции (3.2) и (3.3).

Аналогичные соотношения для дискретизированного колебания с пе-

риодом в N отсчетов, т.е. T 2 / N . В этом случае формулы (4.3) и (4.4).

Быстрое преобразование Фурье (БПФ)

При обработке сигнала во многих случаях приходится измерять спек-

тры. Например: в задачах распознавания речи, гидроакустических системах,

в радиолокационных системах.

Набор алгоритмов называемых алгоритмами БПФ включает разнооб-

разные методы уменьшения времени вычисления ДПФ. Поскольку вычисле-

ние ДПФ является основной операцией в большинстве задач спектрального анализа, то использование БПФ в некоторых встречающихся на практике случаях, позволяющее увеличивать скорость вычисления ДПФ в 100 и более раз, по сравнению с методом прямого вычисления ДПФ, имеет чрезвычайно важной значение и должно рассматриваться как неотъемлемая часть приме-

нения методов ЦОС для спектрального анализа. Поэтому вначале рассмот-

рим теорию БПФ, включающую хорошо известные алгоритмы с основанием

2 и прореживанием по времени и по частоте. Далее покажем, каким образом можно представить БПФ в виде единого алгоритма, имеющего много различ-

ных вариантов. Тот факт, что одномерный массив чисел можно выразить че-

рез двумерный массив более чем одним способом, объясняет многообразие алгоритмов БПФ. Отсюда следует, что математическая операция перехода из одномерного пространства в двумерное является основой для всех алгорит-

мов БПФ.

Алгоритмы БПФ с основанием 2

Известно, что ДПФ конечной последовательности x(n) , 0 n N 1

определяется по формуле (4.4'):

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

22

N 1

X (k) x(n)W nk , где W e j(2 / N )kn .

n 0

Легко показать, что W nk является периодической последовательностью с периодом N. Часто периодичность W nk подчеркивают тем, что вместо W

записывают WN .

Из соотношения (4.4') следует, что прямом вычислении ДПФ на N точек нужно выполнить (N 1)2 комплексных умножений, и N(N-1) сложений. Та-

ким образом, для достаточно больших N (1000 и более) прямое вычисление ДПФ требует чрезмерного количества вычислительных операций. Основная идея БПФ состоит в том, чтобы разбить исходную N – точечную последова-

тельность на две более короткие последовательности, ДПФ которых может быть скомбинирован таким образом, чтобы в итоге получить ДПФ исходной

N-точечной последовательности. Например, если N – четное, а исходная N –

точечная последовательность разбита на 2 N/2 точечные последовательности,

то для вычисления искомого N-точечного ДПФ потребуется N / 22 2 N 2 / 2

комплексных умножений, т.е. в 2 раза меньше по сравнению с прямым вы-

числением. Здесь множитель (N / 2)2 даст число умножений, необходимых для прямого вычисления для прямого вычисления (N / 2) точечного ДПФ, а

множитель 2 соответствует двум ДПФ, которые были вычислены. Эту опера-

цию можно повторить вычисляя вместо (N / 2) - точечного ДПФ два (N / 4) -

точечных ДПФ. Предполагая, что (N / 2) – четное число и сокращая таким образом объем вычислений еще в 2 раза. Выигрыш в 2 раза является прибли-

женным, т.к. не учитывается, каким образом, из ДПФ меньшего размера об-

разуется искомое N –точечное ДПФ.

Проиллюстрируем описанную методику для N – точечной последова-

тельности x(n) , считая, что N равно степени.

Введем две (N / 2) – точечные последовательности x1(n) и x2 (n) из четных и нечетных членов x(n) соответственно, т.е.:

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

24

Формулу (4.10) нужно доопределять для k N 2 . Это определение дос-

таточно очевидно (из-за периодичности ДПФ) и может быть записано сле-

дующим образом:

На рис. 4.2 с помощью направленного графа представлена последова-

тельность операций при выполнении восьмиточечного ДПФ с использовани-

ем двух четырехточечных преобразований. Входная последов x(n) сначала разбивается на две последовательности x1(n) и x2 (n) из четных и нечетных членов x(n) , после чего рассчитываются их преобразования X1(k) и X 2 (k).

Затем в соответствии с формулой (4.11) получают X (k) . Не закрашенные кружки в правой части рис. 4.2 обозначает операцию сложения (вычитания),

причем верхний выход соответствует сумме, а нижний – разности.

a a+b

сложение, вычитание

На рис. 4.2 с помощью направленного графа представлена последова-

тельность операций при выполнении 8-точечного ДПФ (N = 8) с использова-

нием двух четырехточечных преобразований.

Входная последовательность x(n) сначала разбивается на две последо-

вательности x1(n) и x2 (n) из четных и нечетных членов последовательности x(n) , после чего рассчитываются их преобразования ДПФ – X1(k) и X 2 (k), а

затем в соответствии с формулой (4.11) получим ДПФ – X k входной по-

следовательности x(n) .

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

25

Рассматриваемая схема вычислений может быть использована для рас-

чета N 2 -точечного ДПФ в соответствии с формулами (4.10) и (4.11). Любая

из последовательностей x1(n) и x2 (n) разбивается на две последовательно-

четных и нечетных членов x1(n) .

На рис. 4.3 показан результирующий направленный граф, в котором 4-

точечные ДПФ из рис. 4.2 засчитываются согласно формуле (4.13).

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

28

и вычитание. Фактически, как следует из рис. 4.4 вместо ожидаемых 12 ум-

ножений достаточно выполнить только 2 умножения.

Однако, для большинства значений N фактическое число умножений

апроксимируется формулой N log2 N . Описанный алгоритм называется ал-

2

горитмом с прореживанием по времени.

Поскольку на каждом этапе входная (т.е. временная) последователь-

ность разделяется на 2 обрабатываемые последовательности меньшей длины,

т.е. входная последовательность прореживается на каждом этапе. Базовая операция с прореживанием по времени имеет вид:

«Бабочка» – базовая операция алгоритма БПФ.

Рассмотрение графа на рис. 4.4 показывает, что каждый из этих этапов

альный, для каждой базовой операции необходимо выполнить только одно умножение, так как величину B WNk можно вычислить и запомнить. Таким образом структура базовых операций такова, что для выполнения БПФ N -

точечной последовательности, размещенной в памяти необходимо иметь лишь одну дополнительную ячейку памяти. Результаты всех промежуточных этапов БПФ можно размещать в те же самые ячейки памяти, где находилась исходная последовательность x(t) . Поэтому для хранения и входной и вы-

ходной последовательности можно использовать один и тот же массив ячеек памяти. Алгоритм, в котором для размещения входных и выходных последо-

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

29

вательностей используются одни и те же ячейки памяти, называется алго-

ритмом БПФ с замещением.

Из рис. 4.4 следует, что N -точечная БПФ содержит log2 N этапов,

причем все операции умножения используются только при объединении ре-

зультатов ДПФ. Поскольку эти умножения используются во всех алгоритмах БПФ, соответствующие множители получили специальное название повора-

чивающих множителей.

Еще одной особенностью алгоритма с прореживание по времени явля-

ется необходимость такой перестановки элементов входной последователь-

ности, чтобы входная последовательность X (k) имела естественный (пря-

мой) порядок расположения, т.е. k 0,1...N 1. ( В примере на рис. 4.4 для

этого требуется следующий порядок размещения входной последовательно-

сти x(0), x(4), x(2), x(6), x(1), x(5), x(3), x(7) ).

Характер перестановки элементов входной последовательности может быть описан сравнительно просто. В том случае, когда N является степенью

2, входная последовательность должна быть расположена в памяти в двоич-

но-инверсном порядке, для того, чтобы выходная последовательность полу-

чалась в прямом порядке.

Если записать порядковые номера элементов входной последователь-

ности в двоичном коде используя L двоичных разрядов, причем N 2L , а

затем инвертировать порядок следования разрядов, то получаемые при этом числа и будут номерами элементов входной последовательности после их пе-

рестановки.

Еще одна особенность алгоритма БПФ заключается в том, что на всех этапах преобразования используются коэффициенты WNk , k 0,1...N 1.

Существует несколько способов получения этих коэффициентов. Са-

мый простой способ: составление таблицы, к которой можно обращаться в процессе счета. Недостаток: дополнительная память, что при больших N

становится проблематично.

Второй способ заключается в непосредственном вычитании коэффици-

ентов WNk .

С использованием каждый раз стандартных подпрограмм расчета сину-

са и косинуса. Этот способ требует много времени.

Третий способ основан на применении простой рекуррентной формулы:

БПФ меняется с постоянным шагом. Например, на рис. 4.4 на первом этапе используются коэффициенты: W 0 ,W 4 ; на втором: W 0 ,W 2 ,W 4, W 6 ; и на третьем шаге: W k , k 0,1...7.

Поэтому, чтобы иметь возможность на каждом из этих этапов исполь-

зовать формулу 4.16 достаточно запомнить или вычислить только множители

W 4 ,W 2 ,W 0 .

Приведем таблицу сравнений числа операций при прямом вычислении ДПФ и при использовании алгоритма БПФ при N от 2 до 2048.