Вопрос 6.

Кинетическая и потенциальная энергии колебательного движения

Сложное колебание и его гармонический спектр

Вопросы № 7 и №8

Нередки случаи, когда система одновременно участвует в двух или нескольких независимых друг от друга колебаниях. В этих случаях образуется сложное колебательное движение, которое создается путем наложения (сложения) колебаний друг на друга. Очевидно, случаи сложения колебаний могут быть весьма pазнообpазны. Они зависят не только от числа складываемых колебаний, но и от паpаметpов колебаний, от их частот, фаз, амплитуд, напpавлений. Не пpедставляется возможным обозреть все возможное pазнообpазие случаев сложения колебаний, поэтому ограничимся pассмотpением лишь отдельных пpимеpов

Часто тело участвует в двух или нескольких колебаниях. Например, груз, подвешенный на пружине к потолку рессорного вагона, колеблется относительно точки подвеса, которая в свою очередь совершает колебания вместе с вагоном на его рессорах. Таким образом, груз будет совершать движение, складывающееся из двух колебаний. В таких случаях необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. По принципу суперпозиции эти колебания рассматриваются как независимые, и результирующее смещение находится в каждый момент времени как векторная сумма смещений отдельных колебаний. В случае сложения колебаний, направленных по одной прямой, результирующее смещение равно алгебраической сумме смещений отдельных колебаний.

При сложении колебаний можно пользоваться аналитическим, графическим методами и методом векторных диаграмм.

Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты:

Принцип суперпозиции. Сложение колебаний

Часто тело участвует в двух или нескольких колебаниях. Например, груз, подвешенный на пружине к потолку рессорного вагона, колеблется относительно точки подвеса, которая в свою очередь совершает колебания вместе с вагоном на его рессорах. Таким образом, груз будет совершать движение, складывающееся из двух колебаний. В таких случаях необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. По принципу суперпозиции эти колебания рассматриваются как независимые, и результирующее смещение находится в каждый момент времени как векторная сумма смещений отдельных колебаний. В случае сложения колебаний, направленных по одной прямой, результирующее смещение равно алгебраической сумме смещений отдельных колебаний.

При сложении колебаний можно пользоваться аналитическим, графическим методами и методом векторных диаграмм.

Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты:

1. Аналитический метод.Результирующее смещение

Покажем, что результирующее колебание также является гармоническим колебанием той же частоты, т.е. что

где А— амплитуда результирующего колебания;— его начальная фаза. Тогда

Используя формулу косинуса суммы двух углов, получим

Это уравнение будет тождеством относительно t, если коэффициенты приив его левой части равны соответствующим коэффициентам в правой части в любой момент времени:

Решив эту систему уравнений, получим

2. Графический метод.Сложение сводится к суммированию ординат в каждый момент времени (чем больше точек, тем точнее) — рисунок 13.6.

Рис. 13.6

3. Метод векторных диаграмм.Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис. 13.7). Так как векторыивращаются с одинаковой угловой скоростью, то угол между ними, а значит, и разность фазсоставляющих колебаний, остаются постоянными. Результирующее смещение, гдех₁ + х₂— сумма проекций векторовина осьОх.Из математики известно, что сумма проекций векторов равна проекции вектора суммы, т.е.гдеСледовательно, амплитуда результирующего колебания равна модулю вектора. Из рисунка 13.7 видно, что по теореме косинусов

Рис. 13.7

Угол наклона вектора к осиОхравен начальной фазе результирующего колебания. Из рисунка 13.7 видно, Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного что направления и одинаковой частоты, также совершает гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фазПри сложении гармонических колебаний одного направления, но разных частот, результирующее колебание не является гармоническим. Еще более сложными оказываются результирующие колебания, полученные при сложении колебаний, происходящих в разных направлениях.

Затухающие колебания— колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс видав природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебанийAявляется убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебанийили её квадрата.

В акустике: затухание — уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.