56. Системы линейных дифференциальных уравнений. Методы решения.

Для систем линейных уравнений строится теория, полностью эквивалентная теории линейных уравнений порядка n. В частности справедливы играющая большую роль в теории и практике теорема о наложении решений и получаемые с ее помощью теоремы о виде общего решения однородной и неоднородной систем. Теорема (о наложении решений). Если y 1,y2− решения систем линейных уравнений y=A(x)+b1(x) и y= A(x)+b2(x) соответственно, то линейная комбинация a1y1+a2y2 есть решение системы линейных уравнений A(x)y+a1b1+a2b2 Теорема (о виде общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений). Если y ¹y²..линейно независимая совокупность решений однородной системы уравнений y=A(x)yc непрерывными на [α,β] лементами матрицы A(x)и A(x)≠0для всех x∈[α,β] , то любое решение этой системы есть линейная комбинация решений y¹y²..yn то есть

57. Конечные и бесконечные числовые последовательности и ряды.

 Если каждому числу n из натурального ряда чисел: 1, 2, 3, …, n, … поставлено в соответствие вещественное число xn, то множество вещественных чисел x1, x2, …,xn, … называется числовой последовательностью или просто последовательностью. Суммы Sn = a₁ + a₂ + … + a_n, = a_к, n=1,2,…n называются частичными (бесконечными) рядами 58. Частичные суммы. Остаток ряда.

. Сумма конечного числа n первых членов ряда называетсяn-ой частичной суммой ряда. Если существует конечный предел , то его называютсуммой ряда и говорят, что ряд сходится. Если не существует (например, при), то говорят, что ряд расходится и суммы не имеет.Ряд, полученный отбрасыванием от исходного n первых членов называется n-м остатком ряда. 59. Положительный ряд. Признаки сходимости знакоположительных числовых рядов.

Если , то рядназывают положительным. Для сходимости знакоположительного числового ряданеобходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.

Признак сравнения. Если u_n и v_n знакоположительные числовые ряды, причем u_{n } v_n то из сходимости ряда v_n следует сходимость u_n , а из расходимости ряда u_n следует расходимость ряда v_n .

Предельный признак сравнения. Если u_n и v_n знакоположительные числовые ряды и существует конечный предел отличное от нуля, то ряды сходятся и расходятся одновременно.

Признак Даламбера. Если существует ,, который равен q, то при q<1 ряд сходится, а при q>1 – расходится, q=1, то вопрос о сходимости остается открытым.

Признак Коши. Если для знакоположительного ряда существует предел , который равен q, то при q<1 ряд сходится, а при q>1 – расходится, q=1, то вопрос о сходимости остается открытым.

60. Знакопеременные ряды. Признаки сходимости.

Опр. Числовой ряд называется знакопеременным, если он имеет бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов. Знакочередующийся ряд, такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки. Для знакочередующихся рядов действует достаточный признак сходимости Лейбница. Теорема: Если члены знакочередующего ряда убывают по абсолютной величине u1 > u2>... и предел его общего члена при n→∞ равен нулю, то ряд сходится, и его сумма не превосходит первого члена ряда, взятого по абсолютной величине Sn<u1

Ряд называется абсолютно сходящимся, если рядтакже сходится. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд абсолютных величин расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся.

Теорема: Из абсолютной сходимости знакопеременного ряда следует просто сходимость ряда. 61. Функциональные последовательности и ряды. Отображение множества натуральных чисел N во множество действительных функций одного переменного x, определенных на промежутке I, называется функциональной последовательностью и обозначается   { f_n (x) } или f₁ (x), f₂ (x), f₃ (x), …;     (3) Функциональные ряды. Бесконечный ряд, построенный из функциональной последовательности

            f_n (x) = f₁ (x) + f₂ (x) + … + f_n (x) + … называется функциональным рядом.

62. Равномерная сходимость. Признаки равномерной сходимости.Последовательность функций {f_n(x)}сходится равномерно к f(x) на множестве Е, если для любого ɛ>0 можно найти такое N, зависящее только от ɛ, что для любого n>N и для всех xϵE выполняется неравенство |f_n(x)-f(x)|<ɛ.

Ряд сходитсяравномерно на множестве Е к сумме S(x), если последовательность его частичных сумм S_n(x) сходится равномерно на множестве Е к функции S(x). Критерий Коши равномерной сходимости. Для того чтобы ряд сходился равномерно на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы для любого ɛ>0существовал такой номер N, что при n>N и любом p для всех xϵE выполнялось неравенство |u_n+1(x)+...+u_n+p(x)|<ɛ. Признак Вейерштрасса. Если члены ряда удовлетворяют неравенствам |u_n(x)|<a_n, где xϵE, а a_n – числа, и если ряд сходится, то ряд сходится на множестве Е равномерно. 63. Функциональные свойства суммы ряда. Функция такая, что для любой точкичислоявляется суммой числового ряда, называется суммой функционального ряда.

То есть .Функциональные свойства суммы ряда – непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость и т.д. 64. Степенной ряд. Радиус и интервал сходимости ряда. Ряд называется степенным, если член ряда является степенем некоторой функции: sinx+sin²x+sin³x. Для всякого степенного ряда существует неотрицательное числотакое, что при(еслиряд сходится и притом абсолютно, а при(если) ряд расходится.Число называется радиусом сходимости степенного ряда, а множество точек, удовлетворяющих неравенству, – его областью (интервалом ) сходимости.

Формула радиуса сходимости.

65. Разложение функций в ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Ряд Тейлора. Если функция имеет на множествеограниченные в совокупности производные любого порядка, то на этом множестве функцияпредставима в виде суммы степенного ряда, который называется рядом Тейлора для функции.

Рядом Маклорена называют ряд Тейлора с центром сходимости в точке ноль: .66. Применение степенных рядов Степенные ряды применяются :для приближённого вычисления значений функции, определённых интегралов;нахождения первообразных неберущихся интегралов;значений иррациональных чисел;интегрирования дифференциальных уравнений;для вычисления пределов, значений производных функции в точке и т.д.

Примерный перечень вопросов к экзамену. 1. Понятие множества. Множества конечные и бесконечные. 2. Подмножества. Операции над множествами. 3. Системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. 4. Комплексные числа. Формы записи комплексных чисел. 5. Формулы Муавра и Эйлера. 6. Отображения и функции. Обратная функция. 7. Экономические зависимости и функции. 8. Функции одной переменной.  9. Предел функции. 10. Элементарные функции. 11. Операции над функциями, имеющими предел. 12. Непрерывность и разрывы функций. 13. Замечательные пределы. 14. Производная функции в точке. Таблица производных основных функций. 15. Дифференцируемость и непрерывность. 16. Геометрический, физический и экономический смысл производной. 17. Правила дифференцирования. 18. Инвариантность формы дифференциала. 19. Дифференциалы высших порядков. 20. Дифференциал в приближенных вычислениях. 21. Теоремы о среднем (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). 22. Правило Лопиталя. 23. Формула Тейлора. 24. Использование понятия производной функции при описании характеристик экономических процессов. 25. Признаки монотонности функции. Возрастание и убывание функций. Максимумы и минимумы функций. 26. Направление выпуклости и вогнутости графика функции. 27. Точки перегиба графика функции. 28. Схема исследования поведения функций с помощью 1 и 2-ой производных. 29. Исследование функции спроса на товар, имеющих цену х. 30. Функции нескольких переменных. 31. Однородные функции. 32. Частные производные и дифференциалы. 

33. Градиент. Производная по направлению. 34. Понятие об экстремуме функций нескольких переменных. Условный экстремум. 35. Приложения функций нескольких переменных в экономике. 36. Первообразная и неопределённый интеграл. 37. Таблица неопределенных интегралов. 38. Свойства неопределенных интегралов. 39. Интегрирование заменой переменной. 40. Интегрирование по частям неопределенных интегралов. 41. Определенный интеграл и его свойства. 42. Определенный интеграл как предел интегральной суммы в упрощенных задачах экономики. 43. Формула Лейбница-Ньютона. 44. Замена переменной в определенном интеграле. 45. Интегрирование по частям определенных интегралов. 46. Несобственные интегралы первого рода. 47. Несобственные интегралы второго рода.. 48. Определение дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения. 49. Решение дифференциального уравнения. Общее решение. Частное решение. 50. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Интегральные кривые. 51. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Методы решения. 52. Дифференциальные уравнения высших порядков. Определения. 53. Уравнения 2-го порядка, приводимые к уравнениям 1-го порядка. 54. Линейные однородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.  55. Неоднородные линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. 56. Системы линейных дифференциальных уравнений. Методы решения.  57. Конечные и бесконечные числовые последовательности и ряды. 58. Частичные суммы. Остаток ряда. 59. Положительный ряд. Признаки сходимости знакоположительных числовых рядов. 60. Знакопеременные ряды. Признаки сходимости. 61. Функциональные последовательности и ряды. 62. Равномерная сходимость. Признаки равномерной сходимости. 63. Функциональные свойства суммы ряда. 64. Степенной ряд. Радиус и интервал сходимости ряда. 65. Разложение функций в ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. 66. Применение степенных рядов