48. Определение дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения.

  Уравнение вида F (x, y (x), y ' (x), …, y (n)(x)) = 0, где x — независимая действительная переменная, y (x) — искомая функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок производной, входящей в уравнение.

Общим решением дифференциального уравнения ( называется такое его решение: y= φ ( x,C1,C2 ,...,Cn ), которое содержит столько независимых произвольных постоянных C1,C2 ,...,Cn , каков порядок этого уравнения.

Если общее решение задано в неявном виде Ф( x, y,C ,C ,...,Cn ) =0 , то его называют общим интегралом. 49. Решение дифференциального уравнения. Общее решение. Частное решение.

Решением дифференциального уравнения называется функция y=f(x), которая при подстановке в уравнение превращает его в тождество.

Общее решение дифференциального уравнения — это соотношение вида y = y(x,C1,C2,C3,...Cn), зависящее от n произвольных постоянных.

Частное решение дифференциального уравнения — это общее решение при заданных значениях постоянных C1,C2,C3,...Cn.

50. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Интегральные кривые.

Дифференциальные уравнения виданазывают уравнениями с разделенными переменными. Уравнение, которое приводится в видуназывается дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. График функцииy=f(x) называется интегральной кривой. 51. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Методы решения.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Два метода решения указанных уравнений:

• Использование интегрирующего множителя;

Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде: гдеC − произвольная постоянная.

• Метод вариации постоянной.

Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения: Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x).Если, кроме дифференциального уравнения, задано также начальное условие в форме y(x0) = y0, то такая задача называется задачей Коши. Решение задачи Коши не содержит произвольной константы C. Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие y(x0) = y0.52. Дифференциальные уравнения высших порядков. Определения. Все  дифференциальные   уравнения   порядка   выше  первого называют  дифференциальными   уравнениями высших   порядков .Общий вид: 53. Уравнения 2-го порядка, приводимые к уравнениям 1-го порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде гдеF − заданная функция указанных аргументов. Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной y'', то его можно представить в следующем явном виде: В частных случаях функцияf в правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такие неполные уравнения включают в себя 5 различных типов:

С помощью определенных подстановок эти уравнения можно преобразовать в уравнения первого порядка. В случае произвольных дифференциальных уравнений второго порядка, их порядок можно понизить, если эти уравнения обладают определенной симметрией. Ниже мы обсудим 2 типа таких уравнений (случаи 6 и 7): 1)Функция F(x, y, y', y'') является однородной функцией аргументов y, y', y'';2)Функция F(x, y, y', y'') является точной производной функции первого порядка Ф(x, y, y'). 54. Линейные однородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. 

Пусть линейное однородное уравнение имеет вид где a1,a2 ,…,an – некоторые действительные числа. Уравнение (14.8) называется линейным однородным уравнением n–го порядка с постоянными коэффициентами.55. Неоднородные линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид: где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y0(x) соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y1(x) неоднородного уравнения:Методы решения.1) Метод вариации постоянных . Если общее решение y0 ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных. 2)Метод неопределенных коэффициентов . Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов. Данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как 1. 2. где Pn(x) и Qm(x) − многочлены степени n и m, соответственно.