24. Использование понятия производной функции при описании характеристик экономических процессов.
Экономич интерпретац
теоремы Ферма.1)З-н эк:оптималь ур выпуска
Т опр-ся MS(издерж)=MR.Выпуск(х0)
оптимал при MS(x0)=MR(x0),С(х)-ф-я
прибыли.С(х)=К(х)-С(х).Мах прибыль-где
С(х) имеет экстремум.По теор Ферма
С’(х)=0.Но С’(x)=MR(x)-MS(x),поэтому
R’(x0)=S’(x0).MR(x0)=MS(x0).2)ур
мах экономич пр-ва опр-ся равенством
АS=МS.AS
это S(x)/x.Минимум
в критич точке ф-ии у=AS(x)
т.е. при усл AS’(x)=S’x-S/x2=0→S’*x-S=0
или S’=S/x,т.е.
MC(x)=AS(x).3)з-н
убывающ отдачи:с увелич пр-ва дополн
продукция,получ на кажд нов ед рес-а и
опр момента убывает.∆у(приращ
рес-а)/∆х(приращ выпуска) уменьш при
увелич х(ф-я у=
,выражающ
зависимость выпуска Т от влож рес-ов,явл
ф-ей выпуклой вверх).4)Ф-я полезности
U=U(x),х-товар,U-полезность.З-н убывающ
пол-ти:с ростом кол-ва Т,дополн аол-ть
от кажд нов ед с некотор момента
убывает.(ф-я пол-ти явл ф-ей,выпукл
вверх).
25. Признаки монотонности функции. Возрастание и убывание функций. Максимумы и минимумы функций. Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2). Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2). Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.
Признаки монотонности функции.
Если f ’( x ) > 0 в каждой точке интервала ( a, b ), то функция f ( x ) возрастает на этом интервале.
Если f ’( x ) < 0 в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция f ( x ) убывает на этом интервале. Точка a называется точкой максимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≥ f (x). Точка a называется точкой минимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≤ f (x). 26. Направление выпуклости и вогнутости графика функции. График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. 27. Точки перегиба графика функции. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. В точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею. Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x0) = 0 или f ''(x0) не существует и при переходе через значение x = x0 производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x0 есть точка перегиба. 28. Схема исследования поведения функций с помощью 1 и 2-ой производных.
1.Найти обл опр ф-ии и исслед повед-е Ф-и в граничных точках этой обл (при стремлении
аргумента к границе области). Найти вертикальные асимптоты. 2. Выяснить четность или нечетность ф-и и вопрос о периодичности ф-и. 3. Найти точки разрыва и промеж непрер-ти.4. Опр нули ф-и и промеж знакопост-ва.5.Найти точки и знач экстр-ов и промеж монотонности.6.Найти точки перегиба и интервалы выпукл.7.Найти наклонные асимптоты графика ф-ии.8. Указать др специфич особ-ти ф-ии. 9.Построить график ф-ии.Для 20ого порядка: Если f ‘(x)=0 , то функция f (x) в точке х0 имеет максимум, если f’’(x0)<0 и минимум,если f’’(x0)>0. Если f’’(x0)=0, то хар-тер критич точки неизвестен.Для его
опр треб-ся дальнейш исслед-е.