101. Формулювання теореми про існування кратного інтеграла

Якщо  , - зв'язана, обмежена й замкнена область, тоf(M) інтегрована в області , тобто границя n-ї інтегральної суми існує, не залежить від способу розбиття областій вибору точок.

Зауваження.У пункті 62 наведено доведення інтегрованості функції однієї змінної, яка є частковим випадком ФДЗ. Аналогічно доводиться й дана теорема, тобто шляхом визначення границь верхньої й нижньої сум Дарбу.

102 Властивості кратних інтегралів

Виходячи із властивостей границь і кінцевих сум, можна записати такі властивості кратних інтегралів:

1) , де С – const;

2) ;

3) якщо область розбивається на дві областійбез спільних внутрішніх точок, то

(у доведенні останньої властивості беремо загальну границю областей іоднієї з поверхонь розбиття);

4) якщо , то- міра області інтегрування;

5) якщо m, M – найменше й найбільше значення підінтегральної функції f(M) в області інтегрування з мірою , то

(доведення випливає зі справедливості нерівності:

).

103 Теорема про середнє

Якщо ,- зв'язана, обмежена й замкнена область, то взнайдеться принаймні одна така точка, що

(доведення випливає із властивості 5 і неперервності функції , див. п.64).

104. Обчислення кратних інтегралів

Означення. Плоска область D називається правильною в напрямку осі OY, якщо будь-яка пряма, паралельна осі OY, перетинає її границю не більш ніж у двох точках.

Теорема. Подвійний інтеграл від неперервної функції по правильній області D дорівнює повторному інтегралу від цієї функції по області D, тобто

.

Доведення

З одного боку, , з іншого.

як площа криволінійної трапеції.

Остаточно: .

Приклад. Обчислити , якщо,

Лекція 31

105. Заміна змінних у кратних інтегралах

З теореми про існування кратних інтегралів (п.101) випливає, що інтеграл не залежить від способу розбиття області D.

1. Декартова система координат

Розбиваємо область D лініями ,.

.

Таким чином, у декартовій системі координат .

Для потрійного інтеграла - площини, які розбивають область V на нескінченно малі прямокутні паралелепіпеди й.

2. Полярна система координат

У цій системі координат точка :формули переходу. У цьому випадку розбиваємо область D лініями, тобто концентричними колами й променями.

Таким чином, з точністю до нескінченно малих другого порядку малості .

Тобто .

Зауваження. Загальний випадок зміни змінної в подвійному інтегралі дивись п.182.

3. Циліндрична система координат

, де - формули переходу. Розбиваємо область V поверхнями,концентричні циліндричні поверхні, напівплощини, що виходять із осі OZ, і площини, перпендикулярні до осі OZ.

.

тобто в циліндричній системі координат .

Зауваження. Можна припустити, що при записуванні кратного інтегралав новій системі координат, де,

,

……………………

,

диференціал міри , тут множникназивають якобіаном.

Доведено, що якобіан дорівнює:

.

Наприклад, у циліндричній системі координат

4. Сферична система координат

Оскільки , то формули переходу мають вигляд: ,,, при цьому

Поверхні розбиття тіла V на нескінченно малі елементи: - концентричні сфери,- конічні поверхні з вершинами в точці О,- напівплощини, що виходять із осі OZ.

і тоді

.

Приклад

Обчислити інтеграл , якщо V~

Обчислювати цей інтеграл зручніше у сферичній системі координат

.

Лекція 32

106. Застосування кратних інтегралів до задач фізики

1. Маса неоднорідної пластини

Надалі під пластиною будемо мати на увазі тіло, що має форму прямого циліндра, для якого h<<S, де h - висота циліндра, S - площа поперечного перерізу, h = const.

Оскільки h мале, то густина не залежить від змінної z, тобто вона не змінюється уздовж будь-якого перпендикуляра до площини x. Розмірність густини .

Густина , аD – зв'язана, обмежена, замкнена область. Виділяємо елементарну частину області D з площиною dS, яка настільки мала, що можна вважати густину на цій ділянці сталою. Тоді маса елементарної частини , а маса всієї пластини:

.

Подібні міркування дозволяють уникнути побудови n-ї інтегральної суми й граничного переходу в кожній конкретній задачі.

Зауваження. До таких самих результатів можна прийти, якщо використовувати пункти 100 і 104:

тут розмірність густини .

2. Момент інерції

З фізики відомо, що момент інерції матеріальної точки щодо осі Ox:, де m – маса, d – відстань від точки до осі. Тоді момент інерції нескінченно малого елемента пластини D визначається за формулою. Аналогічно.

Зауваження. Якщо розглядати неоднорідне тіло, то

, ,– моменти інерції щодо відповідних площин, а– момент інерції щодо полюса О.

3. Центр мас

Позначимо центр мас неоднорідної пластини буквою С, тоді ,, де,– статичні моменти пластини щодо відповідних осей, m – маса пластини.

Статичний момент нескінченно малого елемента пластини:

, ,.

Отже, ,.

Зауваження. Аналогічно визначаються координати центра мас неоднорідного тіла:

, ,.