94. Формула Тейлора для функції двох змінних

З пунктів 40, 41 формула Тейлора для функції однієї змінної має такий вигляд:

де ,міжі.

Розглянемо функцію , що має внеперервні частинні похідні до () порядку включно.

, ,,

.

За формулою Тейлора для функції однієї змінної:

, де ,міжміж

95. Екстремум фдз. Необхідна ознака існування екстремуму

Означення. Якщо для ,то.

Аналогічно визначається ;,називаються екстремальними значеннями функції.

Означення. Точка називається стаціонарною, якщо.

Теорема(Необхідна ознака існування екстремуму)

Якщо функція набуває у точцісвого екстремального значення, тов точціабо дорівнюють нулю, або нескінченності, або не існують.

Доведення

Крива- лінія перетину поверхній площини, тодізадана рівняннямАналогічно доводиться, щой ін. випадки.

Приклад.

, (р>0) –

гіперболічний параболоїд.

,

.

У точці , однак у точціекстремуму немає, тому що впорушуються визначення максимуму, мінімуму.

Лекція 28

96. Достатня ознака існування екстремуму

Теорема.Нехай у функціямає неперервні частинні похідні до 3-го порядку включно і точкає стаціонарною, тоді:

1. при є екстремум, якщо, то в точці, якщо,то в точці;

2. при - екстремуму немає ;

3. при - потрібні додаткові дослідження.

Тут

Доведення. За формулою Тейлора

Оскільки точка - стаціонарна, то.

оскільки похідні неперервні, то вони обмежені; ,- обмежені, то

Таким чином , отже:

1) якщо , тоі в точці;

2) якщо , тоі в точці;

3) якщо , то необхідні додаткові дослідження;

4) якщо змінює знак, то екстремуму немає, тому що порушується визначення максимуму, мінімуму.

Використовуючи означення других похідних, обчислених в точці , одержимо:

1. якщо ,, тоточка;

якщо ,, тоточка;

2. якщо , то

при ,

при , що є розв’язком рівняння,

. Таким чином, змінює знак, отже, приекстремуму немає;

3) якщо - потрібні додаткові дослідження.

і залежно від знака А і значення кута.

Приклад.

всі точки прямої підозрілі на екстремум.

У цьому випадку екстремум будемо називати нестрогим, тобто в точках, що лежать на прямій , нестрогий мінімум.

Зауваження. Якщо осі x, y розгорнути на кут , то,використовуючи формули переходу , отримаємо

Тут - нові координати.

Рівняння в новій системі координат:, таким чином, ми розглядаємо параболічний циліндр.

97. Умовний екстремум

Визначити екстремум функції , якщо змінніx і y зв'язані умовою

Тут функція U двічі диференційована по x, y і

Оскільки з умови , то- функція однієї змінної, з огляду на це визначимо точки, підозрілі на екстремум:

Система (1) дозволяє визначити точки, підозрілі на екcтремум, тому що використовували тільки необхідну умову існування екстремуму. Для достатньої умови існування екстремуму у точці визначимо

і за знаком (див. пункт 96) установлюємо наявність екстремуму і його вигляд.

Приклад. У точках іперебувають джерела світла інтенсивностівідповідно. Визначити точку, у якій висвітлення буде мінімальним. Нехай.

EMBED PBrush

.

Точка підозріла на екстремум.

Таким чином, =.

Лекція 29