81. Задача про час витікання рідини з посудини з отвором

на дні циліндра отвір площі s. Циліндрична посудина до країв наповнена рідиною. Якщо рідина нев'язка й силами поверхневого натягу можна знехтувати, то швидкість витікання рідини з отвору s за законом Торрічеллі , тут h – відстані від рівня рідини до отвору.

- об'єм рідини, що витікає.

- на такий об'єм понизиться рівень рідини в циліндрі().

Тоді час витікання всієї рідини з посудини

.

Функція декількох змінних

82. Деякі поняття плоскої області d

З геометрії відомо, що пара чисел зображується точкою М на координатній площиніxoy. Множина цих пар дає плоску область D.

Відстань між двома точками площини визначається за формулою .

Означення. Множина точок площини, координати яких задовольняють нерівність , називається δ – околом точкий позначається δ(). Геометрично це внутрішня частина кола із центром у точцій радіусом δ.

Означення. Точка називаєтьсявнутрішньою точкою області D, якщо існує δ – окіл точки , що повністю лежить в областіD.

Означення. Точка називаєтьсяграничною точкою області D, якщо будь-який δ – окіл цієї точки містить як точки, що належать області D, так і ті, що не належать їй.

Означення. Область D називається відкритою, якщо будь-яка точка цієї області є внутрішньою.

Означення. Область D називається замкненою, якщо кожна гранична точка області є так само точкою цієї області. Замкнену область, як правило, позначають .

Означення. Область D називається обмеженою, якщо її можна повністю помістити в деякий круг скінченного радіуса.

Означення. Область D називається зв'язаною, якщо дві її будь-які точки можна з'єднати неперервною кривою, що повністю лежить у цій області.

83. Поняття функції декількох змінних

Поряд з поняттям функції однієї незалежної змінної можна розглянути функцію двох і більше незалежних змінних.

Означення. Якщо будь-якій точці за деяким законом f ставиться у відповідність число, то кажуть, що на областіD задана функція . Аналогічно можна дати визначення функції трьох і більше змінних.

Приклади

1. . НехайD – область існування цієї функції, тоді вона визначається нерівністю ,зовнішня частина кола.D – необмежена, відкрита й зв'язана.

2.

D – необмежена, відкрита й незв'язана, тому що точки не можна з'єднати неперервною кривою, що повністю лежить у цій області.

3..

Область D– вкладені одне в одного кільця, радіуси яких ,

D– необмежена, замкнена й незв'язана.

84. Геометричне зображення функції декількох змінних (фдз)

Просторовий графік функції двох змінних – геометричне місце точок (х,y,u), тобто деяка поверхня, задана рівнянням u=f(x,y).

Наприклад:

1.- параболоїд обертання.

Область D – проекція цієї поверхні на площину хоу, тобто вся площина хоу.

2. - верхня частина півсфери радіуса R.

Область Д – коло з радіусом R.

Лекція 25

85. Границя функції декількох змінних

Означення. Число А називається границею функції при, якщо для, що для всіх точок М з області завдання функції й задовольняючій нерівності ,

Таким чином, або.

Означення. Число А називається границею функції при, якщо для, що для всіх точок М з області завдання функції й задовольняючій нерівності ,таким чином, .

Самостійно дати визначення границь і.

Приклади

1. Обчислити .

ОДЗ цієї функції вся площина, крім точки О(0;0). Розглянемо границю, коли точка М прямує до точки О по прямій .

­, границя залежить від шляху, тобто при різних k, набуває різних числових значень, отже вона не .

Границя існує, якщо вона не залежить від шляху.

2. , тому що

.

У цьому прикладі була використана теорема про границю проміжної функції, що справедлива й для ФДЗ.