86. Повторні граничні значення

Для ФДЗ можна визначити граничне значення за однєю зі змінних при фіксованих значеннях інших:

. Якщо існує, то можна повторити обчислення границі:. Таким чином, ми прийдемо до поняття повторного граничного значення:.

Приклад

, ,

, .

Зауважимо, що , тому що при.

, тобто границя залежить від a і набуває різних числових значень, тобто не .

Теорема. Якщо задано ві , крім цього, існують

, , то.

Доведення

За визначенням границі ФДЗ: , що при.

.

Далі розглядаємо тільки точки, що задовольняють нерівність . Виберемо одну з них – точку.

Оскільки , то.

З умови теореми маємо: .

За визначенням границі функції однієї змінної:

, що при

, тоді при , тобто.

Аналогічно доводиться, що .

87. Неперервність ФДЗ

Означення. Якщо функція задана в точцій, то кажуть, що функція

неперервна в точці .

Означення. Якщо функція неперервна в кожній точці множини D, то кажуть, що вонанеперервна на множині D: .

, , тоді- називають повним приростом функції.

Оскільки , то, або.

88. Частинні похідні фдз

Крім повного приросту ФДЗ

,

існують частинні прирости:

,

.

Означення. Якщо існує границя відношення частинного приросту ФДЗ до приросту відповідного аргументу, коли останній прямує до нуля, то його називають частинною похідною й позначають:

,

.

Зауваження. Частинну похідну обчислюють як похідну функції однієї змінної за умови, щоy зафіксовано, аналогічно для ­-x зафіксовано.

Приклад.

;

,

.

Зауваження. Взагалі з існування частинних похідних не випливає неперервність функції в даній точці, на відміну від функції однієї змінної.

Лекція 26

89. Повний диференціал

Означення. Функція називаєтьсянеперервно диференційованою в області D, якщо вона диференційована і .

U=f(x,y)неперервно диференційована в D.

Тут між x і,між y і.

.

Оскільки похідні неперервні в області

EMBED PBrush

Висновок. Повний приріст неперервно диференційованої ФДЗ .

Означення. Головна частина повного приросту неперервно диференційованої ФДЗ, лінійна щодо приросту аргументів, називається повним диференціалом, тобто

Зауваження. Нехай аналогічной.

Остаточно, .

- ця формула дозволяє в наближених обчисленнях використовувати повний диференціал ФДЗ.

90. Похідна від суперпозиції ФДЗ

1.-неперервно - диференційовані за своїми аргументами, тоді

.

Доведення

,

.

Перейдемо до границі при

,

, тому що - неперервні, топри

Таким чином, .

2. - неперервно диференційовані за своїми аргументами, тоді

,

.

Доведення аналогічне попередньому випадку 1.

Приклад

.

91. Дотична площина й нормаль до поверхні

Нехай рівняння поверхні задане в неявному виглядій функціянеперервно диференційована вй в

Складемо вектор .

Розглянемо тільки випадок, коли .

EMBED PBrush

Розглянемо будь-яку криву, що проходить через і належить поверхні

.

. Продиференціюємо ліву й праву частини рівності:

де

Відомо з диференціальної геометрії, що вектор - дотичний вектор до кривої. Таким чином, вектордля будь-якої кривої, що проходить черезі лежить на поверхні. А оскільки всі дотичні проходять через точкуі перпендикулярні до того самого вектора, то вони лежать в одній площині, що називається дотичною площиною, а вектор- нормальним вектором.

З аналітичної геометрії рівняння площини: ,

тоді - рівняння дотичної площини, рівняння прямої:

,

тоді - рівняння нормалі.

Зауваження. Якщо рівняння поверхні задане в явному вигляді, аботой рівняння дотичної площини й нормалі набере вигляду

.

Лекція 27

92. Похідні від функцій, заданих неявно

1. Функція однієї змінної .

.

2. Функція двох змінних .

, тому що (y – незалежна змінна).

Аналогічно .

93. Частинні похідні й диференціали вищих порядків

Означення. - називається частинною похідною другого порядку від функціїза аргументомдвічі. Аналогічно визначаються,,.

Теорема. Якщо функція вмає частинні похідні,,,;,- неперервні в точці, то в цій самій точці вони й однакові (без доведення).

Зауваження. З теореми випливає, що частинні похідні другого й вище порядків, які неперервні в точці М, не залежать від порядку диференціювання, тобто, наприклад, .

Означення. - називається диференціалом другого порядку.

= .

Таким чином,

.

Зауваження

1. Якщо - незалежні змінні, тойтоді.

2. Якщо - незалежні змінні, той.