Математика

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ярославский Государственный Педагогический Университет им. К.Д.Ушинского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пример. Найти векторное произведение векторов a

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.02.2015

Размер:

3.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 328 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

b = 12 + 20 - 15 =17 :

9 16 25

50;

16 25 9

50 .

cos =

;

arccos

Пример. При каком m векторы a

mi j

и b

3i 3 j

перпендикулярны.

a = (m, 1, 0);

b = (3, -3, -4)

3m 3

m 1 .

Пример. Найти скалярное произведение векторов 2a

и 5a

7c , если

a^ b a^ c

b ^ c

3 .


( 2a	3b	4c )( 5a		6b

20c	a	24b	c 28c

7c ) =

10a

12a b

14a

15a

18b b

21b

10 a

27a

34a

45b

18b b 28c c = 10 +

+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.

Векторное произведение векторов.

Определение. Векторным произведением векторов a и

называется вектор c ,

удовлетворяющий следующим условиям:

sin , где - угол между векторами a и b ,

sin 0;

2) вектор c ортогонален векторам

a и b

3) a , b и

Обозначается: c

c образуют правую тройку векторов.


a	b	или c	[a	, b ] .

Свойства векторного произведения векторов:

1)
1)	b	a	a b ;
2)
2)	a	b	0 , если a b					или a = 0 или b = 0;

3) (m a ) b				= a	(m b ) = m( a				b );

4) a		(b	+ с ) = a			b	+ a	с ;


5) Если заданы векторы a (xa, ya, za) и			b (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе

координат с единичными векторами i , j , k , то



				i	j	k

	a	b =		xa	ya	za
				xb	yb	zb
				xb	yb	zb

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь

параллелограмма, построенного на векторах a и b .

a = (2, 5, 1);

b = (1, 2, -3)


		i	j	k		5	1		2	1		2	5
		i	j	k

a	b	2 5		1	i	2	3	j	1	3	k	1	2	17i	7 j	k .
		1	2	3
		1	2	3

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” можно

запустить программу, которая может найти скалярное и векторное произведения двух

векторов. Для запуска программы дважды щелкните на значке:

В открывшемся окне программы введите координаты векторов и нажмите Enter. После получения скалярного произведения нажмите Enter еще раз – будет получено векторное произведение.

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple ( Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),

С(0, 1, 0).

AC (0 2;1 2;0 2) ( 2; 1; 2)

AB (4 2;0 2;3 2) (2; 2;1)



			i	j	k		1	2		2	2
			i	j	k

AC AB			2	1	2	i	2	1	j	2	1
			2	2	1
			2	2	1
	2)
k (4	2)	5i		2 j	6k .

	2	1
	2	1
k	2	2	i ( 1	4)	j ( 2	4)

																				65	(ед2).
	AC AB				25 4 36						65.							S		65
	AC AB				25 4 36						65.							S	2


		Пример. Доказать, что
		Пример. Доказать, что												векторы a			7i	3 j	2k ,		b	3i	7 j	8k	и c	i	j	k
компланарны.
		1		1		1		1			1			1
				7							4
			3	7		8	~			0	4			5	, т.к. векторы линейно зависимы, то они компланарны.
			7	3		2				0		4 5
			7	3		2				0		4 5
		Пример.					Найти					площадь				параллелограмма,					построенного				на	векторах
													1;			300.

a		3b;	3a	b , если					a			b			a^ b


(a	3b ) (3a				b ) 3a		a
S 8				sin 300		4 (ед2).
S 8		b	a	sin 300		4 (ед2).


a	b	9b	a	3b	b	b	a	9b	a	8b	a

Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением

равное скалярному		произведению
равное скалярному		произведению					вектора a

произведению векторов b и c .

Обозначается a		b	c или ( a ,			b	, c ).
Смешанное произведение
Смешанное произведение				a	b c по модулю

построенного на векторах a , b и c .

b	c


векторов a , b		и c называется число,
на вектор,		равный векторному

равно объему параллелепипеда,

Свойства смешанного произведения:

1)Смешанное произведение равно нулю, если:

а)хоть один из векторов равен нулю;

б)два из векторов коллинеарны;

в)векторы компланарны.

2) (a

b )

c )

3) (a, b, c ) (b, c, a)

(c, a, b ) (b, a, c )

(c, b, a) (a, c, b )

4) ( a1

a2 , b, c ) (a1

, b, c ) (a2

, b, c )

5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами a , b

6 a,b, c

и c , равен

		(x2 , y2 , z2 ),		(x3 , y3 , z3 ) , то
6)Если a	(x1, y1, z1 ) , b	(x2 , y2 , z2 ),	c	(x3 , y3 , z3 ) , то

	x1	y1	z1

(a, b, c )	x2	y2	z2
	x3	y3	z3

Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

AB ( 2; 6;1)

Найдем координаты векторов: AC (4; 3; 2)

AD ( 4; 2;2)

Найдем смешанное произведение полученных векторов:

	2	6	1	2	6	1	0	6 1
	2	6	1	2	6	1	0	6 1
AB AC AD	4	3	2	0	15	0	0	15	0	0 ,
	4	2	2	0	10	0	0	10	0

Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

BA ( 2; 3; 4)

Найдем координаты векторов: BD (1;4; 3)

BC (4; 1; 2)

			1	2	3	4	1

V				1	4	3		( 2( 8 3) 3( 2 12) 4( 1 16))
		6					6
Объем пирамиды				4	1	2

	1	(22 30 68) 20(ед3 )
	6

Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.


	i		j	k
BD BC				3		3)		12)		16)
BD BC	1	4		3	i ( 8	3)	j ( 2	12)	k ( 1	16)
	4	1		2


11i	10 j	17k.

BD BC 112 10 2 17 2 121 100 289 510

Sосн =

510

/ 2 (ед2)

Sосн

Т.к. V =

;

120

4 510

.(ед)

Sосн

510

Уравнение поверхности в пространстве.

Определение. Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.

Общее уравнение плоскости.

Определение. Плоскостью называется поверхность, вес точки которой удовлетворяют общему уравнению:

Ax + By + Cz + D = 0,


где А, В, С – координаты вектора N Ai	Bj	Ck -вектор нормали к плоскости.

Возможны следующие частные случаи:

А= 0 – плоскость параллельна оси Ох В = 0 – плоскость параллельна оси Оу С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

А= В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

А= D = 0 – плоскость проходит через ось Ох В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

А= В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу

А= С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz

В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Для того, чтобы через три какиелибо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат.

Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы M1M 2 , M1M3 , M1M были компланарны.

( M1M 2 , M1M3 , M1M ) = 0

M1M {x x1 ; y y1 ; z z1}

Таким образом,

M1M 2 {x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1}

M1M 3 {x3 x1 ; y3 y1 ; z3 z1}

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

x x1 x2 x1 x3 x1

y y1 y2 y1 y3 y1

z z1

z2 z1 0 z3 z1

Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.

Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор		(a1 , a2 , a3 ) .
	a

Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную

точку М(х, у, z) параллельно вектору a .

M	1M {x x1 ; y y1 ; z z1}		(a1 , a2 , a3 ) должны быть
Векторы		и вектор a	(a1 , a2 , a3 ) должны быть
M1M 2 {x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1}

компланарны, т.е.

( M1M, M1M2 , a ) = 0

Уравнение плоскости:

x x1	y y1	z z1
x x1	y y1	z z1
x2 x1	y2 y1	z2 z1	0
a1	a2	a3

Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам,

коллинеарным плоскости.

		(a1			(b1 ,b2 ,b3 ) , коллинеарные плоскости.
Пусть заданы два вектора a		(a1	, a2 , a3 )	и b	(b1 ,b2 ,b3 ) , коллинеарные плоскости.
Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы
							a,b, MM1
должны быть компланарны.
Уравнение плоскости:

	x x1		y y1	z z1		0
	x x1		y y1	z z1
		a1	a2	a3
		b1	b2	b3

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.

Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали N (A, B, C) имеет вид:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор M0 M (x x0 , y y0 , z z0 ) . Т.к. вектор N - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору M 0 M . Тогда скалярное произведение

M 0 M N = 0

Таким образом, получаем уравнение плоскости

A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0

Теорема доказана.

Уравнение плоскости в отрезках.

Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на -D

z 1 0

заменив

c , получим уравнение плоскости в отрезках:

ax by cz 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 328 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.11.201929.62 Кб3Мародёры Хаоса.docx
#
06.02.20152.06 Mб162Марцинковская. Детская практическая психология.doc
#
06.02.201516.12 Кб31Массаж.docx
#
05.02.20152.81 Mб1680Мастерство психологического консультирования.pdf
#
06.02.2015322.82 Кб11Мат_Логика(лекции).pdf
#
06.02.20153.17 Mб15Математика.pdf
#
12.08.2019154.62 Кб11материал к семинару 1..doc
#
06.02.2015396.8 Кб50Материалы по истории СССР.doc
#
20.08.2019201.22 Кб6Материалы студентам ин.яз.doc
#
06.02.201533.55 Кб18медлительные дети.docx
#
06.02.201555.3 Кб30мезозой.doc