Математика

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ярославский Государственный Педагогический Университет им. К.Д.Ушинского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Составим характеристическое уравнение:

(6 )(2 ) 16 12 6 2 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.02.2015

Размер:

3.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3215 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного

6		4
преобразования с матрицей А =			.
	4	2
	4	2

Запишем линейное преобразование в виде:	x	x 6x 4x
	1	1		1	2
	x	x	2	4x 2x		2
	2			1
(6 )x1 4x2 0
	)x2 0
4x1 (2

Корни характеристического уравнения: 1 = 2 = 2;

(6 2)x1 4x2 0

Получаем:

4x1 4x2 0

Из системы получается зависимость: x1 – x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; t) где t- параметр.

	(e1 e2 )t .
Собственный вектор можно записать: u

Рассмотрим другой частный случай. Если х - собственный вектор линейного преобразования А, заданного в трехмерном линейном пространстве, а х1, х2, х3 –

компоненты этого вектора в некотором базисе е1 , е2 , е3 , то

	x1 ;		x2 ;		x3 ,
x1		x2		x3

где - собственное значение (характеристическое число) преобразования А.

Если матрица линейного преобразования А имеет вид:

a			a		a			x
								1
		11		12		13
A a21			a22		a23		, то x2
	a		a		a			x
		31		32		33			3

a11 x1 a12 x2 a13 x3

a21 x1 a22 x2 a23 x3

a31 x1 a32 x2 a33 x3

	a11	a12	a13
	a11	a12	a13
Характеристическое уравнение:	a21	a22	a23	0
	a31	a32	a33

Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно . Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня.

Тогда любое линейное преобразование в трехмерном пространстве имеет собственные векторы.

Пример. Найти характеристические числа и собственные				векторы линейного
1		1	3

преобразования А, матрица линейного преобразования А =	1	5	1	.
	3	1	1
	3	1	1

Составим характеристическое уравнение:

	x1		1 x1 1 x2 3 x3
x1
x	x	2	1 x 5 x		2	1 x		3
2			1
x	x	3	3 x 1 x	2		1 x	3
3			1

1	1	3
1	1	3
1	5	1	0
3	1	1

(1 - )((5 - )(1 - ) - 1) - (1 - - 3) + 3(1 - 15 + 3 ) = 0

(1 - )(5 - 5 - + 2 - 1) + 2 + - 42 + 9 = 0

(1 - )(4 - 6 + 2) + 10 - 40 = 0

4 - 6 + 2 - 4 + 6 2 - 3 + 10 - 40 = 0

- 3 + 7 2 – 36 = 0

- 3 + 9 2 - 2 2 – 36 = 0

- 2( + 2) + 9( 2 – 4) = 0

( + 2)(- 2 + 9 - 18) = 0

Собственные значения: 1 = -2; 2 = 3; 3 = 6;

	(1 2)x1 x2					3x3	0	x1	7x2		x3 0
1) Для 1 = -2:		7x2		x3	0
	x1									x2	3x3 0
	3x x		2	3x	3	0		3x1
		1

Если принять х1	7x2 x3		1	х2 = 0; x3 = -1;
	= 1, то	3x3	3
	x2

Собственные векторы: u1 (e1 e3 ) t.

	2x1 x2 3x3 0						x1 2x2 x3 0
2) Для 2 = 3:		2x2		x3	0
	x1							x2	2x3	0
	3x x		2	2x	3	0	3x1
		1

Если принять х1	2x2 x3		1	х2 = -1; x3 = 1;
	= 1, то	2x3	3
	x2

Собственные векторы: u2 (e1 e2 е3 ) t.

	5x1 x2 3x3 0						x1 x2 x3 0
3) Для 3 = 6:		x2	x3 0
	x1							x2	5x3	0
	3x x		2	5x	3	0	3x1
		1

Если принять х1	x2 x3		1	х2 = 2; x3 = 1;
	= 1, то	5x3	3
	x2

Собственные векторы: u3 (e1 2e2 е3 ) t.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного

3		2	4

преобразования А, матрица линейного преобразования А =	2	1	2	.
	1	1	2
	1	1	2

Составим характеристическое уравнение:

3	2	4
3	2	4
2	1	2	0
1	1	2

-(3 + )((1 - )(2 - ) – 2) + 2(4 - 2 - 2) - 4(2 - 1 + ) = 0

-(3 + )(2 - - 2 + 2 - 2) + 2(2 - 2 ) - 4(1 + ) = 0

-(3 + )( 2 - 3 ) + 4 - 4 - 4 - 4 = 0

-3 2 + 9 - 3 + 3 2 - 8 = 0

- 3 + = 0

1 = 0; 2 = 1;

3 = -1;

	3x1 2x2 4x3	0	2x1 x2 2x3
Для 1			2x1 x2 2x3
Для 1	= 0: 2x1 x2 2x3	0		x2	2x3
			x1	x2	2x3
	x1 x2 2x3 0

Если принять х3 = 1, получаем х1 = 0, х2 = -2

Собственные векторы u1 (0 e1 2 e2 1 e3 ) t, где t – параметр.

Для самостоятельного решения: Аналогично найти u2 и u3 для 2 и 3.

Квадратичные формы.

Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных

х1 и х2

Ф(х1, х2) = а11 x12 2a12 x1 x2 a22 x22

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется

квадратичной формой переменных х1 и х2.

Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных

х1, х2 и х3

Ф(x1 , x2 , x3 ) a11 x12 a22 x22 a33 x32 2a12 x1 x2 2a23 x2 x3 2a13 x1 x3

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется

квадратичной формой переменных х1, х2 и х3.

Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет

	а	а
симметрическую матрицу А =	11	12	. Определитель этой матрицы называется
симметрическую матрицу А =			. Определитель этой матрицы называется
	а12	а22

определителем квадратичной формы.

Пусть на плоскости задан ортогональный базис е1 , е2 . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты х1, х2.

Если задана квадратичная форма Ф(х1, х2) = а11 x12 2a12 x1 x2 a22 x22 , то ее можно рассматривать как функцию от переменных х1 и х2.

Приведение квадратичных форм к каноническому

виду.

Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей А 11

а12

Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a12x1 + a22x2

где у1 и у2 – координаты вектора Ах в базисе е1 , е2 .

Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.

12 .

Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение х Ах Ф.

Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

	1		0
А				.
		0	2
		0	2

При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к переменным

и х . Тогда:

Ф х у х					у
	1	1		2		2
у	а	х		а		х
1	11		1		12		2
у	а		х а				х
2	12		1		22		2

		,
Тогда у1	1 х1	,	у2	2 х2 .

Выражение				2		2	называется каноническим видом
Выражение	Ф(х1	, х2 ) 1	(х1 )		2 (х2 )		называется каноническим видом

квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.

Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Ф(х1, х2) = 27 х12 10 х1 х2 3х22 .

Коэффициенты: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3.

Составим характеристическое уравнение:	27	5	0;
Составим характеристическое уравнение:	27	5	0;
	5	3

(27 - )(3 - ) – 25 = 0

2 - 30 + 56 = 0

1 = 2; 2 = 28;

Ф(х , х ) 2х 2			28 х 2
1	2	1	2

Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

17x2 + 12xy + 8y2 – 20 = 0.

Коэффициенты а11 = 17, а12 = 6,				а22 = 8.				17	6
Коэффициенты а11 = 17, а12 = 6,				а22 = 8.			А =
									8
								6	8
Составим характеристическое уравнение:							17		6	0
Составим характеристическое уравнение:							17		6	0
								6	8
					(17 - )(8 - ) - 36 = 0
				136 - 8 - 17 + 2 – 36 = 0
					2 - 25 + 100 = 0
					1 = 5,			2 = 20.
2		2			x 2	y 2
Итого: 5(х )	20( у )		20 0;		4	1		1 - каноническое уравнение эллипса.

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

5x 2 23xy 3y 2 6 0

Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы

5x 2 23xy 3y 2 : при a11 5, a12 3, a22 3.

a11	a12	5
a11	a12	5	3	15 3 5 2 3 2 8 12 0
a12	a22	3	3

Решив это уравнение, получим 1 = 2, 2 = 6.

Найдем координаты собственных векторов:

a					m a n 0											3m							n 0
				1																		3
																						3
	11						1		12			1					1				1						полагая m1 = 1, получим n1 =		3
			a								n 0																полагая m1 = 1, получим n1 =		3
	a m		a			22				1	n 0						3m			n					0
	12 1					22				1			1						1		1
a					m				a n						0	m
a				2	m			2	a n				2		0	m			2	3n					2	0				1
	11			2				2		12			2						2						2		полагая m2	= 1, получим n2	=	1
			a									n			0

	a m	2					22			2				2				3m		2	3n			2			0			3
	12	2					22			2				2						2				2

					(1;	1
Собственные векторы:		(1; 3)					)
	u		u	2


1					3
					3


					1	1		2
		1 3 2;

	u		u	2


1					3		3
					3		3

Находим координаты единичных векторов нового базиса.


	1		3		3		1
e1		;		e2		;
e1		;		e2		;
	2		2		2		2
	2		2		2		2

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

2(x )2 6( y )2 6

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

(x )2			( y )2
				1
		2	12
	3

		2
	1.	5
		1
	0.	5
- 2	- 1	1	2
	- 0. 5
	- 1
	- 1.	5
	- 2

5x 2 46xy 7 y 2 22 0

	Решение:			Составим			характеристическое				уравнение квадратичной формы

5x 2 4		6xy 7 y 2 : при a				5, a		2 6, a	22	7.
				11			12		22
	a11		a12		5
	a11		a12		5	2 6	35 7 5 2				24 2 12 11 0
		a22
	a12				2 6 7
	a12				2 6 7

Решив это уравнение, получим 1 = 1, 2 = 11.

Найдем координаты собственных векторов:

a					m a n 0													2m										n 0
a				1	m a n 0													2m								6		n 0																2
	11			1			1		12			1									1				1										полагая m1 = 1, получим n1 =									2
			a								n 0

	a m					22				1								6m 3n														0												6
	12 1					22				1			1								1				1
a					m				a n						0				3m
a				2	m			2	a n				2		0				3m				2		6n							2	0											3
	11			2				2		12			2										2									2					полагая m2 = 1, получим n2						=	3
			a									n			0

	a m	2					22			2				2							6m		2		2n						2	0												6
	12	2					22			2				2									2								2

Собственные векторы:																	(1;					2		)							(1;				3	)
																u						2							u	2					3
																u													u
															1						3														2
																					3														2

																				1							2						5	;						1	3	5

																			u																			u	2
																			u																			u
																		1							3								3							2		2
																									3								3							2		2

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3215 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.11.201929.62 Кб3Мародёры Хаоса.docx
#
06.02.20152.06 Mб162Марцинковская. Детская практическая психология.doc
#
06.02.201516.12 Кб31Массаж.docx
#
05.02.20152.81 Mб1680Мастерство психологического консультирования.pdf
#
06.02.2015322.82 Кб11Мат_Логика(лекции).pdf
#
06.02.20153.17 Mб15Математика.pdf
#
12.08.2019154.62 Кб11материал к семинару 1..doc
#
06.02.2015396.8 Кб50Материалы по истории СССР.doc
#
20.08.2019201.22 Кб6Материалы студентам ин.яз.doc
#
06.02.201533.55 Кб18медлительные дети.docx
#
06.02.201555.3 Кб30мезозой.doc