Математика

Широко известные формулы сокращенного умножения квадрата суммы и разности, куба суммы и разности, являются частными случаями бинома Ньютона.

Когда степень бинома невысока, коэффициенты многочлена могут быть найдены не расчетом по формуле количества сочетаний, а с помощью так называемого треугольника Паскаля. (Блез Паскаль (1623 – 1662) – французский математик).

Этот треугольник имеет вид:

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

…………………

Формула бинома Ньютона может быть обобщена для произвольного числа слагаемых.

Напомним, что при вычислениях 0! принимается равным 1.

Пример. В разложении xk y p n найти члены, содержащие х , если k=3, p=2, n=8,

=9.

i 0

Впринципе, можно написать разложение этого выражения в многочлен, определить коэффициеты либо непосредственно, либо из треугольника Паскаля (степень

бинома сравнительно невелика), однако, делать это не обязательно, т.к. необходимо найти только член разложения, содержащий х9.

Пример. В разложении (x y z w)m найти члены, содержащие x . т=9, =6.

По обобщенной формуле бинома Ньютона получаем:

Для нахождения полного разложения необходимо определить все возможные значения ni, однако, это связано с громадными вычислениями. Однако, т.к. надо найти только члены, содержащие х6, то n1 = 6, а сумма всех четырех значений п равна 9. Значит, сумма п2 + п3 + п4 = 3.

Рассмотрим возможные значения этих величин:

Искомые члены разложения:

84 x6 w3 ; 84 x6 y3 ; 84 x6 z 3 ; 252 x6 yz 2 ; 252 x6 yw2 ;

252 x6 zw2 ; 252 x6 y 2 z; 252 x6 z 2 w; 252 x6 y 2 w; 504 x6 yzw;

Элементы математической логики.

Математическая логика – разновидность формаьной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.

Определение. Высказыванием называется предложение, к которому возможно применить понятия истинно или ложно.

В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л.

Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами “и”, “или”.

Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с помощью некоторого математического аппарата.

Вводятся следующие логические операции (связки) над высказываниями

1)Отрицание. Отрицанием высказывания Р называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Р ложно.

Обозначается Р или P .

Соответствие между высказываниями определяется таблицами истинности. В нашем случае эта таблица имеет вид:

2) Конъюнкция. Конъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.

Обозначается P&Q или Р Q.

3) Дизъюнкция. Дизъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Обозначается P Q.

4) Импликация. Импликацией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q – ложно.

Обозначается P Q (или Р Q). Высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – следствием.

5) Эквиваленция. Эквиваленцией двух высказываний P и Q называется

высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают.

Обозначается Р Q или Р Q.

Л Л И

С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять таблицы истинности сложных формул.

Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы и .

p ( p r)p ( p r )

Составим таблицы истинности для каждой формулы:

Данные формулы не являются эквивалентными.

Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы и .

( p q) r

( p q) (q p) r

Составим таблицы истинности для заданных формул.

Из составленных таблиц видно, что данные формулы не равносильны.

Основные равносильности.

Для любых формул А, В и С справедливы следующие равносильности:

A & (A B) A; A (A & B) A; A A; (A & B) A B;

Булевы функции.

Определение. Булевой функцией f(X1, X2, …, Xn) называется называется произвольная n – местная функция, аргументы и значения которой принадлежат множеству {0, 1}.

Вообще говоря между логическими высказываниями, логическими связками и булевыми функциями просматривается явная аналогия. Если логические функции могут принимать значения истинно или ложно, то для булевой функции аналогами этих значений будут значения 0 или 1.

Для булевых функций также можно составить таблицы значений, соответствующим основным логическим операциям.

Исчисление предикатов.

Определение. Предикатом P(x1, x2, …, xn) называется функция, переменные которой принимают значения из некоторого множества М, а сама функция принимает два значения: И (истина) и Л (ложь), т.е.

P(x1 , x2 ,..., xn ) : M n {И , Л}

Предикат от п аргументов называется п – местным предикатом. Высказывания считаются нуль – местными предикатами.

Над предикатами можно производить обычные логические операции, в результате которых получаются новые предикаты.

Кроме обычных логических операций к предикатам применяются также специальные операции, называемые кванторами.

Кванторы бывают двух видов: