Математика
.pdfАналитическая геометрия в пространстве.
Уравнение линии в пространстве.
Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:
F(x, y, z) = 0.
Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.
Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана какимлибо уравнением.
Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.
Тогда пару уравнений
F(x, y, z) 0Ф(x, y, z) 0
назовем уравнением линии в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве по точке и
направляющему вектору.
Возьмем произвольную прямую и вектор S (m, n, p), параллельный данной
прямой. Вектор S называется направляющим вектором прямой.
На прямой возьмем две произвольные точки М0(x0, y0, z0) и M(x, y, z).
z
S M1
M0
r0 r
0 |
y |
x
Обозначим радиусвекторы этих точек как r0 |
|
|
= М 0 М . |
|||
и r , очевидно, что r - r0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. векторы М 0 М и S коллинеарны, то верно |
соотношение |
М 0 М = |
S t, где t – |
|||
некоторый параметр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Итого, можно записать: r = r0 |
+ S t. |
|
|
|
Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.
Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:
x x0 |
mt |
|
nt |
y y0 |
|
|
pt |
z z0 |
Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:
|
|
|
|
|
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
m |
|
n |
|
p |
|
|
|
||||||
Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
косинусы вектора S , которые могут быть вычислены по формулам: |
|
|
|
|||||||||||||||
cos |
|
m |
|
; |
cos |
|
|
|
n |
|
|
; cos |
|
p |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
m2 n2 p2 |
|
|
|
|
|
|
m2 n2 p2 |
m2 n2 p2 |
|
|
Отсюда получим: m : n : p = cos : cos : cos .
Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. S - ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.
Уравнение прямой в пространстве, проходящей
через две точки.
Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:
x2 x1 |
|
y2 y1 |
|
z2 z1 |
. |
|
|
|
|||
m |
|
n |
|
p |
Кроме того, для точки М1 можно записать:
x x1 |
|
y y1 |
|
z z1 |
. |
|
|
|
|||
m |
|
n |
|
p |
Решая совместно эти уравнения, получим:
|
x x1 |
|
y y1 |
|
z z1 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
2 |
x |
|
y |
2 |
y |
|
z |
2 |
z |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.
Общие уравнения прямой в пространстве.
Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.
Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением:
|
|
|
|
|
|
|
N |
r + D = 0, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N - нормаль плоскости; r - радиусвектор произвольной точки плоскости. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Пусть в пространстве заданы две плоскости: N1 r + D1 |
= 0 и |
N2 r + D2 |
= 0, векторы |
нормали имеют координаты: N1 (A1, B1, C1), N2 (A2, B2, C2); r (x, y, z).
Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:
|
|
|
D |
0 |
N |
|
r |
||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
r D2 |
0 |
||
N 2 |
Общие уравнения прямой в координатной форме:
A1 x B1 y C1 z D1 0A2 x B2 y C2 z D2 0
Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду.
Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.
При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
N |
|
N |
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
B |
C |
|
|
|
A C |
|
|
|
A |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
S |
1 |
2 |
A |
B C |
|
i |
|
1 |
1 |
|
j |
|
1 |
1 |
|
k |
|
1 |
1 |
|
i m jn kp. |
||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
B2 |
C2 |
|
|
|
A2 |
C2 |
|
|
|
A2 |
B2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
A2 |
B2 |
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:
2x y 3z 1 05x 4 y z 7 0
Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.
y 3z 1 |
|
y 3z 1 |
|
y 3z 1 |
y 2 |
, т.е. А(0, 2, 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4y z 7 |
0 |
12z 4 |
z 7 |
0 |
z 1 |
z 1 |
|
Находим компоненты направляющего вектора прямой.
m |
|
B1 |
C1 |
|
|
|
1 3 |
|
11; |
n |
|
A1 |
C1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
17; |
p |
|
A1 |
B1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
13. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
B C |
2 |
|
|
|
4 1 |
|
|
|
A |
C |
2 |
|
|
|
|
5 |
1 |
|
|
|
|
A B |
|
|
|
5 |
4 |
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Тогда канонические уравнения прямой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y 2 |
|
z 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:
2x 3y 16z 7 03x y 17z 0
Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда:
2x 3y 16z 7 0 |
y 3x ; |
|
|
|||||
|
|
|
|
; |
|
|
||
3x y 17z |
0 |
|
|
|
|
|
||
|
2x – 9x – 7 = 0; |
|
|
|
||||
|
x = -1; y = 3; |
|
|
|
|
|||
Получаем: A(-1; 3; 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Направляющий вектор прямой: S |
n1 n2 |
|
2 |
3 |
16 |
35i |
14 j |
7k . |
|
|
|
3 |
1 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итого: |
x 1 |
|
y 3 |
|
z |
; |
x 1 |
|
y 3 |
|
z |
; |
||||
35 |
|
14 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
|
1 |
|
Угол между плоскостями.
N2
1
|
0 |
N1
Угол между двумя плоскостями в пространстве связан с углом между нормалями к этим плоскостям 1 соотношением: = 1 или = 1800 - 1, т.е.
cos = cos 1.
Определим угол 1. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:
N |
|
|
D 0 |
||
1 |
r |
||||
|
|
1 |
, где |
||
|
|
|
D |
|
|
N |
2 |
r |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
N1 (A1, B1, C1), N2 (A2, B2, C2). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:
cos1 N1 N 2 .
N1 N 2
Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:
cos |
|
|
A1 A2 B1 B2 C1C2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
B 2 |
C 2 |
|
A2 |
B2 |
C 2 |
||||
|
|
|
||||||||
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
|
|
Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.
Условия параллельности и перпендикулярности
плоскостей.
На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:
A1 A2 B1 B2 C1C2 0 .
Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: N1 N2 .Это условие
выполняется, если: A1 B1 C1 .
A2 B2 C2
Угол между прямыми в пространстве.
Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:
l1: r r1 S1t
l2: r r2 S2t
|
(x, y, z); |
r1 (x1 , y1 , z1 ); |
r2 (x2 , y2 , z2 ); |
S1 (m1 , n1 , p1 ); |
S2 (m2 , n2 , p2 ). |
r |
Угол между прямыми и угол между направляющими векторами этих прямых связаны соотношением: = 1 или = 1800 - 1. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:
cos |
|
S1 |
S2 |
|
|
|
m1m2 n1n2 p1 p2 |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
S |
S |
|
|
|
m2 |
n2 |
p 2 |
|
m2 |
n2 |
p2 |
||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия параллельности и перпендикулярности
прямых в пространстве.
Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.
m1 n1 p1 m2 n2 p2
Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.
m1m2 n1n2 p1 p2 0
Угол между прямой и плоскостью.
Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
N S
|
|
|
|
Пусть плоскость задана уравнением N r |
D 0 , а прямая - |
r |
r0 St . Из |
геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол = 900 - , где - угол
между векторами N и S . Этот угол может быть найден по формуле:
cos N S
N S
sin cos N S
N S
В координатной форме: |
sin |
|
Am Bn Cp |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
A2 B2 C 2 |
|
m2 n2 p2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Условия параллельности и перпендикулярности
прямой и плоскости в пространстве.
Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.
|
|
|
|
|
N S , |
N S |
0, |
sin 0, |
Am Bn Cp 0. |
Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.
N S 0; |
A |
B |
C |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
n |
|
p |