7. Организация управления с использованием энтропийных оценок координат

7.1. Основные положения

Наличие случайных воздействий в различных точках объекта или системы управления приводит к дестабилизации технологического процесса и, как следствие, к появлению случайной составляющей в его выходных координатах у_i(t), i  I, т. е. к нестабильности характеристик выпускаемой продукции. Ранее для оценки нестабильности координаты у(t) использовалась величина дисперсии D_у. Качество управления в динамических режимах также оценивалось по величие D_у: чем меньше величина D_у, тем совершеннее система управления, и наоборот. Однако, если рассматривать случайную функцию времени у(t) как некий "информационный след" протекающего технологического процесса, то количественной характеристикой его нестабильности, меры неопределенности является энтропия значений функции у(t)–Н(t). Энтропия непрерывного сигнала (функции) определяется из выражения

(7.1)

Если расcматривается технологический процесс с дискретным выходом, то функция у(t) также будет дискретной, и ее энтропия определяется из выражения

(7.2)

Основание логарифмов а в выражениях (7.1) и (7.2) может быть любым. Величина а выбирается исходя из конкретики решаемой задачи и определяет численное значение единицы энтропии. Для проведения аналитических исследований удобнее использовать натуральные логарифмы (а = е). В этом случае энтропия сигнала у(t) получается в так называемых натуральных единицах, которые имеют обозначение – нит. Для анализа объектов, сигналы которых представлены в двоичных кодах, удобнее использовать двоичные логарифмы (а = 2), и соответственно энтропия будет выражаться в двоичных единицах, обозначаемых – бит. Для анализа объектов, сигналы которых представляются в десятичном или двоично-десятичном кодах, удобнее использовать десятичные логарифмы (а = 10), и энтропия будет выражаться в десятичных единицах, обозначаемых – дит. Соотношение между этими единицами вытекает из определения соответствующих логарифмов и имеет вид: 1 нит = 1,45 бит = 0,43 дит; 1 бит = 0,69 нит = 0,3 дит; 1 дит = 2,3 нит = 3,3 бит.

Из определения энтропии (выражения (7.1) и (7.2)) следует вывод о том, что энтропия детерминированной функции равна нулю. Действительно, если функция у(t) однозначно определена, то вероятность достижения ею конкретного значения в каждый момент времени равна единице и, следовательно, значения всегда для обоих вариантов выражений (7.1) и (7.2), из чего и следует, что Н (у) = 0. В других случаях, когда имеет место хоть какая-то неопределенность функции у(t), ее энтропия будет положительной величиной, т. е. будет иметь место Н (у) > 0.

Следует отметить, что понятие энтропии играет важную роль в теории информации, в которой количество информации I, полученной в результате поступления какого-либо сигнала, сообщения или измерения сигнала, определяется как разность энтропий до получения сигнала – Н (у) (априорная энтропия) и после получения сигнала о состоянии объекта y₀ – Н (у/y₀) (так называемая условная или апостериорная энтропия), т. е.

(7.3)

Другими словами, количество информации оценивается по величине уменьшения степени неопределенности состояния объекта после прихода сообщения, например, в виде сигнала y₀. Как следует из определения (7.3), количество информации измеряется в тех же единицах, что и энтропия. Очевидно также, что

I  0. (7.4)

Знак равенства в выражении (7.4) имеет место только тогда, когда сигнал или сообщение y₀ не несет в себе новой информации о состоянии объекта, т. е. Н (у/y₀) = Н(у).

Математический аппарат для исследований свойств объектов в мерах и метриках энтропийно-информационного пространства разработан в разделе эргодической теории и носит название энтропийной теории динамических систем [28, 29].

Следует отметить, что различные варианты информационных технологий получают все большее распространение в теории и практике управления. Информация по перспективным направлениям использования таких технологий в пищевой промышленности приведена, например, в работе [30].