4.3. Экспериментальные методы получения математического описания

Рассмотренный в предыдущем подразделе аналитический метод получения математического описания зачастую оказывается неэффективным. В первую очередь это связано с тем, что многие процессы в объектах характеризуются одновременным протеканием различных взаимосвязанных явлений, которые, в свою очередь, определяются распределением параметров во времени и в прост-ранстве агрегата. Таковыми, например, являются процессы тепло- и массообмена, которые характеризуются изменением коэффициентов тепло- и массопереноса, диффузии и других как во время обработки, так и в объеме термоагрегата. Достаточно точное аналитическое описание столь сложных и многогранных явлений без серьезных допущений и упрощений, искажающих суть технологического процесса, зачастую не представляется возможным.

Другой причиной неэффективности аналитического подхода к разработке математического описания зачастую является отсутствие необходимых исходных данных о параметрах объекта или отдельных его элементов или необходимость внесения больших материальных и трудозатрат для их определения. В силу этих обстоятельств экспериментальные методы идентификации получили широкое распространение, особенно в производственных условиях.

Экспериментальные методы идентификации основаны на рассмотрении объекта как “черного ящика”, изучение которого осуществляется на основании информации о входных и выходных координатах в различных состояниях, полученной экспериментальным путем. Для получения такой информации необходимо выбрать метод исследования, исходя из которого далее составить план проведения эксперимента. Выбор метода осуществляется в соответствии с особенностями функционирования объекта: производственный или лабораторный вариант, возможности внесения тех или иных испытательных воздействий, возможности проведения исследований в установившемся или переходном режимах и др. Так, например, наличие лабораторной установки расширяет возможности экспериментальных исследований, позволяя шире использовать методы активного эксперимента. В производственных условиях, особенно при высокой производительности технологического оборудования, возможности проведения экспериментальных исследований сужаются, зачастую сводясь к “пассивной” регистрации интересующих координат в различных технологических режимах и производственных ситуациях.

Подробная классификация и анализ экспериментальных методов исследования объектов приведены в работах [13, 14]. Подготовка эксперимента предусматривает выбор вида и методики внесения испытательного воздействия, выбор методов и технических средств измерения и регистрации координат с учетом их динамических и метрологических характеристик, синхронизации измерений и многое другое. Варианты планов и схем проведения таких экспериментов для некоторых объектов пищевой промышленности приведены в работе [13].

Наибольшее распространение на практике получили методы идентификации объектов, основанные на использовании частотных и переходных характеристик. Определение и основные сведения об этих характеристиках приведены в разд. 1. Там же наглядно обоснована нецелесообразность, а для подавляющего большинства случаев, и невозможность получения частотных характеристик для инерционных объектов особенно «неэлектрической природы». Поэтому для идентификации объектов в пищевой промышленности в основном используются переходные характеристики. Математический аппарат, обосновывающий возможность идентификации по переходным характеристикам, основывается на использовании свойств преобразования Лапласа (выражения (4.6), (4.7) и (4.8)). Действительно, если подать на вход объекта единичный импульс (t), то реакция на выходе будет описываться функцией веса w(t). Изображение по Лапласу единичного импульса равно . Тогда согласно выражению (4.7) имеем

(4.14)

т. е. передаточная функция объекта есть изображение, по Лапласу, функции веса. Отсюда вытекает методика получения передаточной функции. На объект вносится единичное импульсное воздействие и регистрируется соответствующая ему функция веса. Совершая над ней прямое преобразование Лапласа согласно выражению (4.6), получаем изображение передаточной функции W(S), которое при нулевых начальных условиях по форме записи совпадает с выражением передаточной функции W(p). Если подаваемый импульс не является единичным, а равен k(t), то для случая рассматриваемых линейных систем реакция на выходе объекта будет соответственно kw(t) и, используя свойство линейности оператора Лапласа, согласно выражению (4.14) будем иметь

Передаточную функцию также можно получить из переходной функции. Если на вход объекта подать единичное ступенчатое воздействие 1(t), то реакция на выходе будет описываться переходной функцией h(t). Изображение по Лапласу единичного ступенчатого воздействия . Тогда согласно выражению (4.7) имеем

(4.15)

Следовательно, передаточная функция есть изображение, по Лапласу, переходной функции, умноженной на S. Если высота ступенчатого воздействия равна , то изображение передаточной функции также увеличится в k раз.

Удобство и простоту получения передаточной функции с помощью переходных характеристик можно также проиллюстрировать на примере, рассмотренном в предыдущем подразделе. Если, например, неизвестны какие-либо параметры элементов амортизатора с₁, с₂ или m, то их определение экспериментальным путем для получения передаточной функции потребует значительных трудозатрат: разборки амортизатора, экспериментального определения величин с₁ и с₂ на стендах, взвешивания подвижных частей, сборки амортизатора. Определение этих величин расчетным путем также трудоемко и не всегда возможно без разборки изделия для определения геометрических параметров пружины, демпфера, платформы, определения физических свойств материала пружины, демпфирующей жидкости и др. Получение переходных характеристик экспериментальным путем потребует минимальных трудозатрат. Для получения переходной функции осуществляется нагружение платформы некоторым грузом, вес которого равен k, и одновременно фиксируется изменение ее положения по оси y во времени, т. е. регистрируется перемещение платформы под действием груза во времени. Полученная запись функции у(t) = kh(t) является переходной характеристикой в масштабе, равном k. Для получения функции веса к платформе прикладывается импульс силы (удар) и также регистрируется изменение ее положения во времени. Искомые параметры передаточной функции (k, T₁, T₂) определяют из полученных графиков функции h(t) или w(t). Очевидно, что такие эксперименты можно провести в производственных условиях достаточно быстро и для их проведения не требуется сложных технических средств и дорогостоящей аппаратуры.

Для многих более сложных, с точки зрения протекания физических явлений, объектов пищевой промышленности переходные характеристики зачастую являются основным инструментом получения математического описания. В этом случае для подачи ступенчатого воздействия, например в теплообменные аппараты, осуществляют скачкообразное изменение расхода энергоносителя или хладоносителя, подаваемых в тот или иной аппарат (пароварочные камеры, печи, дефростационные и холодильные камеры и др.). Соответствующие переходные функции получают путем регистрации изменения температуры во времени в интересующей точке.

Использование выражений (4.14) и (4.15) для определения передаточной функции оказывается удобным, если соответствующие переходные характеристики заданы аналитически. Если же эти характеристики получены экспериментально и представлены в виде таблиц или графиков, то идентификация объекта может быть осуществлена приближенным графоаналитическим методом. Суть метода состоит в следующем. Если в выражении (4.14) перейти к преобразованию Фурье, заменив S  j, то получим описание взаимосвязи между функцией веса и частотной функцией W(j)

(4.16)

Зависимость (4.16) в комплексной плоскости представляется двумя составляющими

(4.17)

Вычисление U() и V() по выражению (4.17) можно осуществить численными методами, представив функцию w(t) в виде суммы трапеций – w_i(t)

(4.18)

В результате получим

(4.19)

Далее определяем A(), L() и () в соответствии с выражениями

; (4.20)

; (4.21)

. (4.22)

Затем строятся зависимости L() и () в логарифмическом масштабе по оси частот – ЛАХ и ЛФЧХ. ЛАХ аппроксимируется отрезками прямых, имеющих наклон, кратный 20 дБ/дек. Из этой асимптотической ЛАХ получают выражение для передаточной функции W(p) в виде набора последовательно включенных типовых динамических звеньев. Соответствующие постоянные времени Т_i определяются по значениям сопрягающих частот _i

. (4.23)

По виду ЛФЧХ можно определить наличие неминимально-фазовых звеньев в структуре объекта и уточнить тип сомножителей в выражении W(p).

В случае, если вид снятых экспериментальным путем переходных характеристик позволяет идентифицировать исследуемый объект каким-либо типовым динамическим звеном, то параметры соответствующей передаточной функции (коэффициент передачи, время запаздывания, постоянные времени) определяются по графикам этих характеристик с помощью известных методик [13].