Особенности вычисления определенного интеграла

При замене переменных

(подстановках)

При интегрировании по частям

Замена переменных, в отличие от неопределенного интеграла, предполагает не только замену подынтегрального выражения, но и замену пределов интегрирования.

Не следует забывать, что определенный интеграл – это число, при интегрировании по частям пределы интегрирования подставляют во все найденные функции.

;

где новые пределы интегрирования находят как корни уравнений: ;

.

Площадь заключена между заданными кривыми.

Площадь лежит под (над) заданными линиями

(между линиями и осью ОХ).

Тогда, определив точки пересечения линий, т.е. пределы интегрирования, можно найти площадь как разность площадей под вышележащей и нижележащей кривой.

По рисунку видно, что в данном случае общая площадь складывается из площадей под линией и

;

по свойству линейности

Среди геометрических приложений определенного интеграла можно еще отметить :

Вычисление длины дуги кривой от точки А до точки В :.

Вычисление объемов тел вращения: , если вращение части дуги функциипроисходит относительно осиОХ,

, если вращение происходит относительно оси ОУ , .

1. Отрезок (интервал) интегрирования кончен.

2. Подынтегральная функция нане имеет разрывов второго рода.

Cправка. В точке имеется разрыв второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке бесконечен или не существует:(см. тему 4, схема классификации разрывов).

Практически для определения точки разрыва надо найти точки, которые не входят в область допустимых значений, например, такие, в которых знаменатель обращается в ноль.

Если не выполняется одно из условий (но не оба сразу), определенный интеграл не существует и вводится понятие несобственного интеграла (НИ).

1. Отрезок интегрирования бесконечен, подынтегральная функция на нем непрерывна.

2. Подынтегральная функция имеет хотя бы один разрыв второго рода на, отрезок интегрирования конечен.

Несобственный интеграл первого рода – по бесконечному отрезку (НИ-1)

Несобственный интеграл второго рода – от разрывной функции

(НИ-2)

Несобственные интегралы определяются как пределы, к которым стремятся определенные интегралы при соответствующих условиях.



(А)

(В)



(А¹)

(В¹)

Третий случай (для НИ и первого и второго рода) сводится к сумме двух первых.

Квадратными скобками отмечены точки разрывов подынтегральной функции.

 Если пределы, стоящие в правых частях равенств, определяющих несобственные интегралы, существуют и конечны, то несобственные интегралы сходятся, в противном случае расходятся (предел не существует или бесконечен - ).