Примеры к теореме 2
Разложить по корням многочлен:
.
|
|
Приравняем многочлен нулю и найдем его корни. |
|
|
Корни действительные, разные. |
|
|
Разложение по теореме 2. |
Разложить
по корням многочлен:
.
|
|
Приравняем многочлен нулю и найдем его корни (по известной формуле разности кубов). |
|
|
Первый корень – из равенства нулю первого сомножителя. Корень действительный. Еще два комплексно-сопряженных корня - из равенства нулю второго сомножителя. |
|
|
Разложение по теореме 2. |
;
Разложить
по корням многочлен:
.
|
|
Простое применение алгебраических преобразований: вынесение общего множителя за скобки и разложения по формуле разности |
|
квадратов
позволяют сразу определить корни и
получить разложение многочлена. Все
корни действительные.
| |
|
|
Разложение по теореме 2. |
;
имеет кратность 4,
и
- однократные, простые.
Рациональные дроби, разложение правильных рациональных дробей на сумму простейших дробей
Под рациональной дробьюпонимается отношение двух многочленов
.
|
|
если
|
|
если
|
,
то рациональная дробьнеправильная
, в ней можно
выделить целую часть – многочлен.
Выделяют целую часть путем деления
многочлена на многочлен или другими
алгебраическими преобразованиями.
,
то рациональная дробьправильная.
Любая
рациональная дробь может быть представлена
как сумма многочлена (целой части
)
и элементарных дробей. Под элементарными
дробями понимают дроби следующих четырех
видов:
|
(а) |
(б) |
(в) |
(г) |
|
|
|
|
|
|
Здесь А, В–const |
|
|
|
;
Теорема.Правильную несократимую рациональную дробь можно представить в виде суммы элементарных дробей, вид и количество которых зависит от вида и количества корней многочлена, стоящего в знаменателе этой дроби.
Пусть знаменатель дроби разложен по корням
,
и среди его корней нет совпадающих с
корнями числителя – дробь несократима.
Приведем таблицу соответствия сомножителей
в разложении знаменателя (т.е. его корней)
и элементарных дробей в представлении
рациональной дроби.
|
Сомножитель
в разложении знаменателя
|
Соответствующая ему сумма элементарных дробей |
|
|
|
|
Действительному
корню кратности
| |
|
|
|
|
Паре
комплексно-сопряженных корней кратности
| |
,
соответствует ровно
штук элементарных дробей вида (а) и
(б).
,
соответствует ровно
штук элементарных дробей вида (в) и
(г).Примеры
Разложить рациональные дроби на сумму элементарных.
|
|
Заданная дробь – неправильная. Выделяем целую часть. | ||
|
= |
Целая часть этой дроби – многочлен нулевого порядка. | ||
|
|
Подбором
определен один из корней многочлена
в знаменателе, действительное число.
Делением определяем следующий,
квадратный многочлен. Его дискриминант
| ||
|
|
Представляем дробь в виде суммы целой части и элементарных дробей. | ||
=
=
;
.
Значит, квадратный трехчлен имеет
пару комплексно-сопряженных корней.
=
|
|
Эта
рациональная дробь правильная,
|
|
действительные, |
Для разложения знаменателя найдем корни квадратных многочленов. |
|
- комплексные, |
|
|
= |
Теперь можно представлять дробь в виде суммы элементарных дробей.
|
.
-
-
действительные.
=