Интегрирование рациональных дробей

Из предыдущего раздела видно, что интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена (что не представляет трудностей) и интегрированию суммы элементарных дробей.

Схема интегрирования рациональной дроби

Правильная или неправильная дробь?

 

Неправильная.	Правильная.
Выделить целую часть, т.е. представить дробь как сумму многочлена и правильной рациональной дроби.	Разложить знаменатель по корням, убедиться в несократимости дроби. Представить как сумму элементарных дробей. Определить постоянные коэффициенты элементарных дробей. Проинтегрировать каждую элементарную дробь.

Первые два пункта интегрирования правильной рациональной дроби изложены в предыдущем разделе. Рассмотрим на примере выполнение третьего пункта.

Допустим, разложение на элементарные дроби уже получено:

Приведем все элементарные дроби к общему знаменателю. Очевидно, что при равенстве знаменателей полученных дробей можно далее рассматривать только равенство многочленов в числителях.

(*)

Для определения постоянных коэффициентов можно привлечь следующие два соображения.

1 способ Так как многочлены в равенстве (*) должны быть тождественно равны, то их значения равны при любых значениях . Придаваяконкретные значения, получим уравнения для определения коэффициентов. В качестве значенийудобно выбирать вещественные корни знаменателя.

2 способ Равенство (*) есть тождество, поэтому, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов.

На практике используют оба способа, причем начинают с 1, т.к. он быстрее дает результат.

1. Подставим в равенство(*)поочередно действительные корни знаменателя. Сразу получены два коэффициента.

Для применения 2 способа в равенстве (*) надо раскрыть скобки.

(**)

	2. Приравняем в равенстве(**)коэффициенты при одинаковых степенях. Начинают с самой высокой степени.
	Учтем уже известные значения коэффициентов. Уравнений достаточно, т.к.
	требуется определить всего три коэффициента. Решаем полученную систему уравнений.

Замечание.Вместо применения2 способа можно было продолжать подставлять в равенство(*)различные значениядо получения нужного количества уравнений. Например,

и т.д.

Теперь рациональная дробь представлена в виде:

и готова для интегрирования.

Приведем формулы интегрирования элементарных дробей.

(а)	(б)
(в)
если

Однако, в некоторых случаях, можно упростить вычисление интегралов (в).

(г) Вычисление интегралов от простейших дробей четвертого типа достаточно сложно, поэтому при необходимости можно воспользоваться рекуррентными соотношениями, приведенными в любом справочнике по высшей математике. Оно позволяет выразить черези применяется нужное число раз.

Проинтегрируем рациональную дробь.

=

==

==

=.

Очевидно, в данном случае интегрирование элементарной дроби третьего типа (в) проще, чем показано в общих формулах.