Особенности вычисления определенного интеграла

При замене переменных (подстановках)	При интегрировании по частям
Замена переменных, в отличие от неопределенного интеграла, предполагает не только замену подынтегрального выражения, но и замену пределов интегрирования.	Не следует забывать, что определенный интеграл – это число, при интегрировании по частям пределы интегрирования подставляют во все найденные функции.
; где новые пределы интегрирования находят как корни уравнений: ; .

Примеры вычисления определенных интегралов можно найти в разделе Примеры выполнения обязательных заданий по теме 7.

Вычисление площадей криволинейных фигур

Из задачи, рассмотренной в начале темы 7, приводящей к понятию определенного интеграла, ясно, что с его помощью можно вычислять площади плоских криволинейных фигур. При этом следует различать два случая.

Площадь заключена между заданными кривыми.	Площадь лежит под (над) заданными линиями (между линиями и осью ОХ).
Тогда, определив точки пересечения линий, т.е. пределы интегрирования, можно найти площадь как разность площадей под вышележащей и нижележащей кривой.	По рисунку видно, что в данном случае общая площадь складывается из площадей под линией и
; по свойству линейности

Среди геометрических приложений определенного интеграла можно еще отметить :	Вычисление длины дуги кривой от точки А до точки В :.
	Вычисление объемов тел вращения: , если вращение части дуги функциипроисходит относительно осиОХ, , если вращение происходит относительно оси ОУ , .

Применение определенного интеграла в экономических задачах

Пусть функция z=f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции , произведенной за промежуток времени[0;Т].

Если производительность не изменяется с течением времени (f(t) – постоянная функция), то объем продукции , произведенной за некоторый промежуток времени[t, t+t], находится по формуле: =f(t) t.

В общем случае справедливо приближенное равенство f()t, где [t, t+t], которое оказывается тем более точным, чем меньше t.

Разобьем отрезок [0; T] на промежутки времени точками:

0=t₀<t₁<t₂<<t_n=T. Для величины объема продукции , произведенной за промежуток времени [t_i-1, t_i], имеем

=f(_i) t_i, где _i[t_i-1, t_i], t_i=t_i-t_i-1, i=1,2,,n. Тогда

При стремлении к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому :

По определению определенного интеграла, окончательно получаем:

т.е. если f(t) – производительность труда в моментt, тоесть объем выпускаемой продукции за промежуток[0; T].

Сравнение данной задачи с задачей о площади криволинейной трапеции показывает, что величина и объем продукции, произведенной за промежуток времени [0; T], численно равен площади под графиком функции z=f(t), описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке [0; T].

Экономический смысл определенного интеграла - объем произведенной продукции при известной функции производительности труда.

Рассмотрим другие примеры использования интеграла в экономике.

1. Если в функции Кобба-Дугласа^ считать, что затраты труда линейно зависят от времени, а затраты капитала неизменны, то она примет вид .Тогда объем выпускаемой продукции за Т лет составит:

Найдем объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид .

=	Объем произведенной продукции Q. Интегрируем по частям.
у.ед.

2. Исследуя кривую Лоренца – зависимость процента доходов от процента имеющего их населения (кривую ОВА), мы можем оценить степень неравенства в распределении доходов населения. При равномерном распределении доходов кривая Лоренца вырождается в прямую – биссектрису ОА, поэтому площадь фигуры ОАВ между биссектрисой ОА и кривой Лоренца, отнесенная к площади треугольника ОАС (коэффициент Джини), характеризует степень неравенства в распределении доходов населения. Высокое значение этого коэффициента показывает существенно неравномерное распределение доходов среди населения в рассматриваемой стране.

По данным исследований в распределении доходов в одной из стран кривая Лоренца ОВА может быть описана уравнением , гдех – доля населения, у – доля доходов населения. Вычислить коэффициент Джини.