kornil / ФУБ семестр 2 / Высшая математика 2 семестр / TEMA7 / Примеры1
.docТема 7. Примеры
Примеры выполнения обязательных заданий по теме 7
Задание 1. Вычислить определенные интегралы.
ПРИМЕРЫ
|
а) |
Представим заданный интеграл в виде суммы интегралов. |
|
|
= |
Вносим
под знак дифференциала в первом
во
втором
|
|
|
= |
Находим первообразные (см. таблицу в теме 6), подставляем в них пределы по формуле Ньютона-Лейбница. |
|
|
= = |
Учитываем,
что
|
|
=
=
,
.
=
=
.
,
(см.
приложение).
|
а)
|
Заметим, что в числителе |
|
|
= |
подынтегральной функции стоит производная знаменателя и внесем ее под знак дифференциала. Получаем
степенной интеграл,
По
формуле Ньютона-Лейбница подставляем
пределы интегрирования, причем
|
|
|
|
Окончательный ответ. |
|
=
=
.
,
(см.
приложение).
.
|
б)
|
Подобные интегралы вычисляются методом замены переменной, а именно - рекомендуемой |
||
|
|
тригонометрической подстановкой (см. тему 6, таблица рекомендуемых тригонометрических подстановок). - обязательно изменить пределы интегрирования. |
||
|
= |
Производим упрощение полученных выражений. |
||
|
= |
Вычисляем тригонометрический интеграл с помощью соответствующих формул. |
||
|
= |
Подставляем пределы,
|
||
=
;
.
=
=
.
,
.
Задание 2. Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями. Сделать чертеж области, площадь которой вычисляется.
ПРИМЕР
|
|
Построим заданную область. |
|
|
|
При
|
|
|
Всеми тремя заданными линиями ограничена заштрихованная область. Составляем формулу для вычисления площади: |
||
|
|
Каждый интеграл вычислим по отдельности. |
|
|
|
Площадь
прямоугольника под прямой
|
|
|
|
Вычисление интеграла по частям, см. тему 6, методы интегрирования. |
|
|
= =
|
Упрощаем первообразную и подставляем пределы интегрирования.
|
|
,
при
- крайние точки. В общем вид линии
подобен виду линии
.
;
.
=
=
NB.
Если бы область была задана линиями :
,
то следовало бы вычислять
.
Задание 3. Задачи с экономическим содержанием.
ПРИМЕРЫ
Найти среднее значение издержек производства (AC), выраженное в денежных единицах, если задана функция издержек С(q) и пределы изменения объема выпускаемой продукции q от q1 до q2. 2) Указать объем продукции (qc), при котором издержки принимают среднее значение.
|
Пусть С(q)=3q2+4q+1, объем продукции q меняется от 0 до 3 единиц. |
|||
|
|
Согласно теореме о среднем значении. |
||
|
|
В
нашем случае
|
||
|
|
т.е. среднее значение издержек АС=16. |
||
|
|
Определим, при каком объеме продукции издержки принимают это значение. |
||
|
|
Учитывая, что объем продукции не может быть отрицательным, берем |
||
|
т.е.
|
только положительный корень уравнения. |
||
(ден.
ед.)
единиц продукции.Ответ. Среднее значение издержек производства 16 ден.ед., причем оно достигается при выпуске продукции в 1,67 ед.
NB. Выпуск продукции может быть как целым, так и дробным числом, т.к. не указано, что это за продукция и в каких единицах измеряется.
Определить объем продукции, произведенной рабочим за n-й час рабочего дня (например, n=2 означает время работы от t=1 до t=2), если производительность труда f(t) задана. Определить среднюю производительность труда за 8-ми часовую смену и указать час, в который эта производительность достигается.
Пусть
.
|
|
Найдем объем продукции, произведенной рабочим за четвертый час рабочего дня. |
|
|
=
(все приближенные значения округляем до двух знаков после запятой) |
При
вычислении первообразной разбиваем
интеграл на сумму двух интегралов и
в первом вносим под знак дифференциала:
|
|
|
|
Средняя производительность труда за рабочую смену – по |
|
|
|
теореме о среднем (см. пример 1 в 3-м задании), округляем до двух знаков после запятой. |
|
|
|
Найдем час, в который достигается средняя производительность труда. |
|
|
|
После приведения к общему знаменателю и приведения подобных получаем решение уравнения |
|
;
ед.
.
;
(ден.ед.)
;
;
Ответ.
Объем продукции, произведенной за
четвертый час рабочей смены – около
3,14 ед. Средняя производительность труда
– около 3,16 ед. продукции, она достигается
на третьем часу рабочей смены (
час.).
Пусть
производительность труда в течение
смены меняется следующим образом:
;
за первые три часа рабочего дня.
|
|
Расшифруем заданную кусочно-непрерывную функцию производительности труда. |
- первые два часа
смены;
-
с третьего по шестой час;
-
последние два часа.
