Тема 7. Теория
Тема 7. Определенные и несобственные интегралы Определенный интеграл
Задача, приводящая к понятию определенного интеграла – задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
Пусть на отрезке задана непрерывная функция, для определенности пусть. Найдем площадь, ограниченную осьюОХ, прямыми и линией. Можно также говорить о площадипод кривой или о площади криволинейной трапеции.
Для этого разобьем трапецию произвольным образом на частичные трапеции линиями, параллельными ОУ: , а затем заменим каждую прямоугольником со сторонойи высотой, где-произвольно выбранная на частичном отрезке точка.
Составим сумму площадей всех прямоугольников, она будет приближенно равна площади всей криволинейной трапеции: . Такая сумма называетсяинтегральной. Очевидно, будет тем более точно определять площадь криволинейной трапеции, чем на большее число частичных трапеций будет разбита исходная криволинейная трапеция. А приили, что то же самое,эти площади совпадут.
Если существует конечный предел интегральной суммы , при, который не зависит от способа разбиения области на частичные отрезки и выбора точек, то он называетсяопределенным интегралом функции на отрезкеи обозначается
.
Здесь – нижний ,– верхний пределы интегрирования.
- Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: если - представляет семейство функций, то-
- определенное число.
- Заметим, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования, т.к. смена обозначений не влияет на интегральную сумму.
Свойства определенного интеграла.
1 - если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования, определенный интеграл поменяет знак.
2 - интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю по определению.
3 ;
.
Аналогичные свойства есть и у неопределенного интеграла. Они показывают, что интегрирование – линейная операция и может быть распространена на любое конечное число слагаемых: .
Свойство аддитивности. Если - функция, интегрируемая на
и , где, то она интегрируема наи
Иными словами, отрезок интегрирования можно разделить на части какой-либо точкой и интеграл по всему отрезку заменить суммой интегралов по двум полученным отрезкам.
5 Свойство алгебраической площади. Определенный интеграл есть число того же знака, что и подынтегральная функция. То есть при вычислении площадей с помощью определенного интеграла можно получить отрицательную площадь.
Теорема- о среднем значении функции на отрезке. Еслинепрерывна на отрезке (), то на этом отрезке существует хотя бы одна точка (), такая, что функция принимает в ней свое
среднее значение:.
Геометрический смысл теоремы: пусть, тогда существует по крайней мере одна точка, такая, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной кривойбудет равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной:
Формула Ньютона-Лейбница
Если для подынтегральной функции можно найти первообразную, то определенный интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница.
-Формула Ньютона-Лейбница позволяет вычислить определенный интеграл как разность первообразных на верхнем и нижнем пределах интегрирования, не вычисляя предела интегральной суммы.
Можно выделить два этапа вычисления определенного интеграла.
Одним из методов интегрирования (см. тему 6) находят первообразную.
Вычисляют разность значений первообразной функции на верхнем и нижнем пределах интегрирования.
- Сначала в первообразную подставляют верхний предел.