kornil / ФУБ семестр 2 / Высшая математика 2 семестр / TEMA7 / Примеры2
.docТема 7. Примеры
|
|
Найдем объем продукции, произведенной за первые три часа рабочего дня. |
|||
|
|
Для контроля построим график производительности труда. |
|||
|
В
данном случае вычисление интеграла
поддается элементарной геометрической
проверке – надо найти площадь под
графиком функции при
|
||||
|
|
Объем продукции, выпущенной за смену:
|
|||
|
|
Средняя производительность труда, по теореме о среднем. |
|||
|
Час,
в который достигается средняя
производительность труда, можно
приблизительно определить по графику,
проведя прямую линию
Ответ. Объем продукции, произведенной за первые три часа рабочей смены – 340 ед. Средняя производительность труда – 91,25 ед. продукции, нет такого часа, на котором работа идет со средней производительностью. |
||||
.
Она складывается из суммы площадей
прямоугольной трапеции
и прямоугольника
(проверьте самостоятельно).
.
В данной задаче она не пересекает
графика функции производительности
труда, поэтому нет такого часа за всю
смену, в который производительность
труда – средняя.
|
Определить дисконтированный доход А ден. ед. за k лет, если базовые капиталовложения А0 ден. ед., ежегодные дополнительные вложения равны А1 ден. ед., годовая процентная ставка q%. Проценты начисляются непрерывно. |
Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время t (лет) при годовом проценте (процентной ставке) q, называется дисконтированием (см. тему 4). Задачи такого рода встречаются при определении экономической эффективности капитальных вложений.
Пусть Аt – конечная сумма, полученная за t лет, и А – дисконтируемая (начальная) сумма, которую в финансовом анализе называют также современной суммой. Если проценты простые, то At=A(1+rt), где r=q/100 – удельная процентная ставка. Тогда A=At/(1+rt). В случае сложных процентов At=A(1+rt)t и потому A=At/(1+rt)t.
Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией f(t) и при удельной норме процента, равной r, процент начисляется непрерывно. Можно показать, что в этом случае дисконтированный доход A за время Т вычисляется по формуле:
Определим дисконтированный доход за три года при процентной ставке 8%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 10 млрд.ден.ед., и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 1 млрд.ден.ед.
|
|
Очевидно,
что капиталовложения задаются функцией,
зависящей от года
|
|
|
Дисконтированная сумма капиталовложений. Интеграл вычисляется по частям, причем в соответствии с рекомендациями: |
|
|
Проделайте вычисления самостоятельно и убедитесь, что А=30,5 млрд. ден. ед. |
|
Ответ. Для получения одинаковой наращенной суммы через три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 млрд.ден.ед. равносильны одновременным первоначальным вложениям 30,5 млрд.ден.ед. при той же, начисляемой непрерывно, процентной ставке. |
|
.
В заданиях для вариантов 23. - 26. и 27. – 30. следует вычислить заданные интегралы, дав ответ с экономическим смыслом. Проценты перед вычислением переводятся в части, например: 2,7%=0,027.
Задание 4. Исследовать несобственные интегралы на сходимость по признаку сравнения и вычислить.
ПРИМЕРЫ
|
|
Несобственный
интеграл 1-го рода. Для вычисления
вносим под знак дифференциала:
|
||||
|
= |
По определению НИ-1. |
||||
|
= |
Учитывая,
что
|
||||
|
|
Исследуем
интеграл на сходимость по признаку
сравнения. Определим функцию,
эквивалентную подынтегральной при
|
||||
|
Применялось выделение главной части в бесконечно больших величинах. Сравниваем со специальной функцией для НИ-1. |
|||||
|
|
НИ-1 сходится. |
||||
=
.
=
и
получаем в пределе число (const).
Значит, НИ-1 сходится.
.
;
|
|
Несобственный
интеграл 2-го рода. Подынтегральная
функция имеет разрыв в точке
|
|||
|
в
ней знаменатель обращается в ноль.
Для вычисления выделяем полный квадрат:
|
||||
|
= |
По определению НИ-2. |
|||
|
|
Подставляем пределы интегрирования и вычисляем предел. |
|||
|
|
Получаем в пределе число (const). Значит, НИ-2 сходится. |
|||
|
Исследуем
интеграл на сходимость по признаку
сравнения. Определим функцию,
эквивалентную подынтегральной при
|
||||
|
|
Найдем корни и разложим квадратный трехчлен по корням. |
|||
|
|
Применялось правило, позволяющее заменять сомножители, не стремящиеся к нулю соответствующими числами. |
|||
|
|
Сравниваем со специальной функцией для НИ-2, имеющих разрыв подынтегральной функции на верхнем пределе. НИ-2 сходится. |
|||
,
и учитываем, что
.
.
.
;
- Обратите внимание! Выделение полного квадрата может привести к различным табличным интегралам. Также часто встречается ошибка, когда не учитывается знак минус:
Знак минус нельзя выносить из-под квадратного корня!
Сравним два интеграла с одинаковыми подынтегральными функциями, но различными пределами.
|
НИ-1 |
НИ-2 |
Для вычисления интегралы разбиваются на сумму интегралов. |
|
|
|
|
|
|
|
= |
= |
|
|
|
НИ-1
расходится,
потому что
|
НИ-2
расходится,
потому что
|
|
|
|
Исследование на сходимость по признаку сходимости. |
|||
|
|
|
Обратите внимание, на то, что при исследовании сравнение – с одинаковыми функциями, но смысл разный. |
|
|
|
т.к. точка разрыва
|
||
,
а остальные пределы конечны.
,
а остальные пределы конечны.
;
НИ-1
расходится.
;
;
НИ-2
расходится.