Основные правила вычисления пределов, связанные с арифметическими операциями

Если функции y=f(x)иy=(x)имеют конечные пределы приха, то:

1.  , предел суммы равен сумме пределов.

2.  , предел произведения равен произведению пределов.

3.  , предел частного равен отношению пределов, если.

4.  , предел постоянной величины равен самой постоянной.

5.  - постоянную величину можно выносить за знак предела.

Первый и второй замечательные пределы и следствия из них.

Таблица эквивалентных БМ величин

ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ	где …

Второй замечательный предел на практике можно использовать и в такой форме:

где а, в - соnst

Следствия из замечательных пределов – это соотношения эквивалентности между некоторыми БМ величинами.

ТАБЛИЦА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИН

Пусть , т.е. является бесконечно малой величиной.

Следствия из первого замечательного предела.	Следствия из второго замечательного предела.

Техника вычисления пределов

При вычислении пределов функций используется правило предельного перехода под знаком непрерывной функции,которое формулируется так:

.

Оно справедливо для всех элементарных функций, так как они непрерывны в своих областях определения. Из правила следует, что при вычислении пределов, прежде всего, необходимо аргумент функции заменить его предельным значением и выяснить, имеется ли неопределенноевыражение. Кнеопределеннымотносятся выражения вида:

.

Если такое выражение существует, необходимо выполнить тождественные преобразования, в результате которых устраняется неопределенность, а затем вычисляется предел.

Различные способы вычисления пределов приведены в разделе "Примеры выполнения обязательных заданий по теме 4".

.

Логическая схема техники вычисления пределов

Общий алгоритм вычисления предела функции

.



Подставить (в том числе и) в.

Проанализировать полученное неопределенное выражение: .

			Если это отношение многочленов, то выделяется главная часть:
	 		алгебраические преобразования : выделение в числителе и знаменателе множителя, стремящегося к нулю.		Если это отношение многочленов, то определяются корни числителя и знаменателя дроби и многочлены раскладываются на множители.
					Если предел содержит квадратные (кубические) корни, то следует умножить и разделить дробь на соответствующий сопряженный множитель.
			использование эквивалентных бесконечно малых величин.		Отношение степенных функций.
			Это неопределенное выражение приводится к виду: или .
		 	Если , то привести к общему знаменателю и получить.
			Преобразование иррациональности .
			Приведение предела к виду второго замечательного предела, т.е. , где- бесконечно малая величина. Затем используют известные формулы или .