Для решения этой системы сначала составим матрицу коэффициентов левой части - A и вектор правых частей – B. Затем решим систему, подставив

Решим уравнение вида A*X=B:

>> A=[1, -3, 4; 2, 1 -7; 1, -6, -1]; % матрица коэффициентов левой части

>> B=[11; 8; -5]; % вектор столбец правых частей

>>X=A \ B

X=

9.6750

2.1250

1.9250

Проверим полученное решение, выполнив умножение A*X:

-5.0000

В результате получили вектор правых частей, что доказывает правильность найденного решения.

Или по-другому:

Решение системы X=A-1*B

>> A=[1, -3, 4; 2, 1 -7; 1, -6, -1]; % матрица коэффициентов левой части

B=[11; 8; -5]; >> X=inv(A)*B

X=

9.6750

2.1250

1.9250

Численное интегрирование

В математике существуют различные численные методы вычисления

20

определенных интегралов. Использование того или иного метода зависит от свойств подынтегральной функции на интервале интегрирования. В системе

ML для вычисления определенных интегралов также существуют функции,

реализующие различные методы. Это: trapz (x, y) – использует метод трапеций, quad() – метод Симпсона, quadl() – метод квадратур Лобатто, quadgk() – метод Гаусса-Кронрода и др. (quadv()dblquad()) quad2d() –

вычисление двойного интеграла, triplequad() - вычисление тройного интеграла. Методы отличаются точностью вычислений. Наиболее используемая функция - quadl()

Самым простым численным методом нахождения определенных интегралов является метод трапеций, который реализован функцией trapz (x, y), где x и y – векторы, задающие значения аргумента и функции в пределах интегрирования. Для ее использования не требуется оформление подынтегральной функции в качестве файла-функции.

>> x=0:pi/100:pi; y=exp(-x.^2); z=trapz(x,y)

z = 0.886219032458507

Все остальные функции имеют одинаковый набор параметров:

[i, n]=quadl (fun, a, b, tol, trace),

21

fun – имя файла-функции или символьное выражение, определяющее подынтегральную функцию (оно должно быть заключено в апострофы).

a, b – пределы интегрирования. tol – погрешность вычислений.

trace – признак вывода промежуточных результатов. Если его значение равно единице, то при выполнении функции выдается последовательность из 4-х

столбцов с промежуточными результатами (количество вычислений, левый конец промежутка, его длина, значение интеграла на этом промежутке), если нулю, то не выдается.

Последние два параметра являются необязательными.

Выходные значения:

i – значение интеграла;

n – количество значений функции, которое потребовалось вычислить для нахождения значения интеграла.

При использовании этих численных методов можно задавать требуемую точность вычислений, а шаг подбирается автоматически (в отличие от функции trapz). По умолчанию точность равна 10-6.

Как мы уже знаем, функция может быть задана различными способами

(либо как символьная константа, либо как имя m-файла, в котором записана функция, либо как анонимная функция.).

Если функция задана одним оператором, то удобнее использовать вариант с указателем на функцию (анонимная функция). Например, будем использовать ту же функцию exp(-x^2)

Функцию можно описать ее отдельной командой f = @ (x) (exp(-x.^2)), а затем использовать это имя:

f = @ (x) (exp(-x.^2));

[i, n]= quadl (f, 0, pi, 1e-8,0) i = 0.886219059172834

n=

138

22

Или указать прямо в команде вычисления интеграла:

>> [i, n]= quadl (@ (x) (exp(-x.^2)), 0, pi, 1e-8, 1)

23

13 2.85334 1.4412324 0.00004

8 61570 8e-001 04741 i = 0.886219059172834

n=

138

Примерно такое же значение интеграла получим, если не укажем два необязательных параметра, но количество значений другое (т.к. другая точность вычислений):

[i, n]=quadl(f, 0, pi ) i = 0.886219059165851

n =

48

Для достижения разной точности понадобилось различное количество вычислений. Можно при вызове функции не указывать выходной параметр n. В

этом случае не выводится количество значений функции, которое потребовалось, чтобы вычислить для нахождения значения интеграла.

[i, n]= quad (f, 0, pi, 1e-8, 0) i = 0.886219059339376

n = 89

n=quadgk (f, 0, pi) i = 0.886219059172853

Если требуется проиллюстрировать графическую интерпретацию интеграла, а подынтегральная функция задана в виде функции, то

y=-1:0.01:5; plot(y,f(y)) hold on;

x=0:1:pi;% при использовании area шаг не имеет значения

%bar(х,f(х)) или area(х,f(х))

24