ОСОБЫЕ МАТРИЦЫ

B ML можно не только задавать матрицы своими значениями или формировать

их по формулам, но можно с помощью специальных функций получать особые

матрицы:

Матрица случайных чисел:

rand(n, m) – формирует матрицу из n строк и m столбцов, заполненную

случайными равномерно распределенными числами в интервале от 0 до 1.

rand(n) – формирует квадратную матрицу n*n случайных чисел в диапазоне от

0 до 1

>>A=rand(3)

распределенные по нормальному закону.

B=randn(4)

Можно задавать размер матрицы, используя вектор из двух элементов, равных

числу строк и столбцов. Например,

>> С=rand([3 4]) % То же самое, что rand(3,4)

34

Если надо сгенерировать матрицу такого же размера, как и существующая

матрица, то необходимо выполнить команду

>> rand(size(A))

size(A) – функция, возвращающая размер матрицы А в виде вектора.

Формирование треугольной матрицы

>> tril(B) % формирует нижний треугольник

>> triu(B) % формирует верхний треугольник

ans =

-0.1241 0.6715 0.4889 0.2939

0 -1.2075 1.0347 -0.7873

0 0 0 -1.1471

ans =

Магический квадрат (матрица, у которой суммы элементов в строках,

столбцах и диагоналях одинаковы) – magic(n,m):

>> magic(3)

35

Единичная матрица – eye(n,m):

>> eye(3)

ans =

36

Матрица из 0 – zeros(n,m):

>> zeros(3)

Для увеличения быстродействия работы программы бывает полезно заранее

задать размер матрицы, для этого создать матрицу с нулевыми элементами – ze-

ros(n,m), а затем заполнять ее значениями.

Матрица из 1 – ones(n,m):

>> ones(3)

Создание новых векторов и матриц на основе имеющихся.

Вектор можно задать также путём объединения нескольких векторов.

Например, даны три вектора A, B, C, получить вектор D: >>A=[1 2 3]; B=[4 5 6]; C=[7 8 9];

>>D=[A B C] % Объединение по горизонтали

3

Элементы одного массива могут быть использованы при создании нового вектора. Например,

>>A=[1 2 3];

>>B=[5,6,9];

37

>> C=[A(2),B(3),B(1),A(1)]

C =

2 9 5 1

Такой же принцип можно использовать и для матриц.

Матлаб позволяет объединять несколько матриц в одну.

Можно выполнить объединение матриц:

по горизонтали

XY

>>X=[1 2;3 4];

>>Y=[5 6;7 8];

>>Z=[X Y]

Размеры матриц должны быть согласованы.

Кроме того, для конкатенации матриц имеется специальная функция cat. Для горизонтального объединения следует записать cat(2,X,Y), а для вертикальной cat(1,X,Y),

В ML можно выделить отдельные фрагменты векторов или матриц. Для этого используются индексация с помощью двоеточия (операция :).

Например,

38

Из вектора D [1 2 3 4 5 6 7 8 9] получить вектор, содержащий элементы

исходного вектора с номера 4 до номера 8.

>> F=D(4:8)

F =

4 5 6 7 8

Пусть имеем матрицу X

>> X=[3 5 8;4 1 9;2 8 3]

Получить новую матрицу Y, вырезкой из элементов матрицы X начиная с

элемента X(1,2) до X(3,3)

>> Y=X(1:3, 2:3)

Можно заменить один фрагмент матрицы другим.

>> Z=[10 20; 30 40]

Z =

10 20

3040

>>X(1:2,2:3)=Z

Аналогично можно вставить фрагмент Z в верхний правый угол:

>>

X(1:2,1:2)=

39

Очень просто удалить, например, какой-либо столбец или строку в матрице.

Удалим 2-й столбец матрицы X. Для этого присвоим второму столбцу пустой

массив.

>> X(:,2)=[] % Обращение X(:,2) означает все эл-ты 2 столбца

X =

320

440

23

Если бы потребовалось бы удалить, например, 2-ю и 3-ю строки, то надо запи-

>> X(2:3,:)=[]

X =

3 10 20

Если необходимо в матрице A 5х5 , состоящей из нулей, заменить значением

-1, например, элементы последней строки с третьего до последнего. Для этого

поступим так.

Сначала нужно создать матрицу из 0

>> A=zeros(5)

Затем записать:

>> A(end, 3:end)=-1

A =

0 0 0 0 0

40

Преобразовать матрицу в вектор можно так:

X =

>> X(:) ans =

0.9593

0.5472

0.1386

0.1493

0.2575

0.8407

0.2543

0.8143

0.2435

Получили вектор столбец в порядке следования по столбцам.

Ранее мы строили таблицу значений функции. Теперь, имея знания о

векторах, можно для этого использовать такой способ:

41

-0.291

1.009

00

-0.770

0.502

00

01.000

0

0.500.770

002

Диагональная матрица. Это матрица, у которой диагональные элементы задаются вектором, а недиагональные элементы нулевые. Чтобы получить диагональную матрицу, необходимо задать вектор, количество элементов которого определит размер матрицы. Это может быть как вектор-столбец, так и векторстрока. Значения вектора расположатся на главной диагонали:

Функция X = diag(V) формирует квадратную матрицу X с вектором V на главной диагонали.

Функция X = diag(V, k) формирует квадратную матрицу X порядка length(v)+abs(k) с вектором V на k-й диагонали. Диагональная матрица со смещенной на k позиций диагональю (положительные k - смещение вверх,

отрицательные - вниз), результатом является квадратная матрица размера length(V)+abs(k).

Обратное действие - выделение главной диагонали из матрицы в вектор

D=diag(A).

Выделение k-ой диагонали из матрицы в вектор D =diag(A,k),

при k > 0 это номер k-й верхней диагонали, при k < 0 это номер k-й нижней диагонали.

>>Z=1:4;

>>D=diag(Z) D =

42

Этой же функцией можно выделить диагональ из матрицы:

>> diag(D) ans =

1

2

3

4

Результат – вектор-столбец, состоящий из элементов, расположенных на

главной диагонали. Иными словами, при использовании этой функции, если параметром является матрица, результатом будет вектор, а если параметр – вектор, результат – матрица.

Сформируем трехдиагональную приведенную ниже матрицу размера 5х5, с ис-

пользованием функции diag.

Сначала сформируем вектор V из чисел от1 до 5. С помощью функции diag

сформируем 3 диагональные матрицы размера 5*5. Используем вектор V для создания диагональной матрицы и матрицы со смещенной на единицу вверх диагональю. Вектор из 4-х 8 сформируем так: 8*ones(1,4) и используем его первым аргументом функции diag, а -1 — вторым и получим третью вспомогательную матрицу. Теперь сформируем результирующую матрицу,

сложив все три

43