b5 a5 0,313 . Тобто умову збіжності виконано, тому приймемо приблизно, що

Отже, як і в попередніх прикладах отримана величина 3 1,719 відрізняється від точного власного значення 3 1,586 менше, ніж на задану точність 0,5 .

1.6.Метод «поділяй та пануй»

Метод «поділяй та пануй», запропонований Каппененом у 1981 р. – це найшвидший метод обчислення всіх власних значень і власних векторів симетричної тридіагональної матриці порядку n 25 . В найгіршому ви-

падку він вимагає O n3 арифметичних операцій; на великій виборці ви-

падкових тестових матриць у середньому затрачається тільки O n2.3 опе-

рацій, а для деяких спеціальних розподілів власних значень – O n2 опе-

рацій. Крім того, метод зручний для паралельного обчислення в багатопроцесорних системах.

В методі «поділяй та пануй» використовується розклад Шура для симетричної тридіагональної матриці Т вигляду (12):

де Q – ортогональна матриця.

Ідея метода полягає в обчисленні розкладу Шура шляхом «склеювання» разом розкладів Шура двох спеціальних тридіагональних проблем вдвічі меншого розміру. Кожна з цих проблем може бути визначена, в свою чергу, двома розкладами Шура для матриць вчетверо меншого розміру і так далі.

35

Розглянемо принцип розділення вихідної матриці А вигляду (12) на дві матриці вдвічі меншого розміру. Для простоти будимо вважати, що n 2m . Визначимо вектор v розміру n

36

то

Порівнюючи (15) та (16), бачимо, що для ефективного синтезу цих двох розкладів Шура вдвічі меншого розміру потрібний швидкий та стійкий розрахунок ортогональної матриці V такої, що

V T (D z zT ) V diag(1, , n ) .

Після того як матриця V обчислена, покладемо Q UV , щоб

отримати (15).

Метод знаходження ортогональної матриці V базується на наступних теоретичних положеннях.

37

2.Якщо 0 , то 1 d1 2 n dn . Якщо 0 , то d1 1 d2 dn n .

3.Власний вектор vi має однаковий напрямок з вектором

D i E 1 z .

Таким чином, для обчислення ортогональної матриці V треба знайти корені рівняння (17). Для цього можна застосувати метод Ньютона. Функція f на кожному з інтервалів di 1, di буде монотонною та гладкою. Тому метод Ньютона забезпечує швидку збіжність до кожного з коренів рівняння, якщо початкова точка взята з інтервалу di 1, di . При цьому на практиці метод збігається до кожного власного значення за обмежену кількість кроків. Для обчислення функції f і її похідної f , що використовуються в методі Ньютона, необхідно O n арифметичних операцій. Тобто для обчислення одного власного значення достатньо O n арифме-

38

діагональна, то для обчислення одного такого вектора достатньо O n арифметичних операцій. При цьому обчислення всіх власних векторів обійдеться в O n2 операцій.

Отже, можна сформулювати р екур си в ни й а л го р и т м обчислення всіх власних значень і власних векторів симетричної тридіагональної матриці за допомогою стратегії «поділяй та пануй».

Алгоритм 7. Процедура dc _ eig T, Q, – за вихідною матрицею Т обчислюються матриці Q і Λ, такі, що T Q QT .

Якщо Т – матриця розміру 11, то присвоїти результуючим параметрам Q 1 і T , інакше:

2.Рекурсивно визвати процедуру dc _ eig T1, Q1, 1 .

3.Рекурсивно визвати процедуру dc _ eig T2 , Q2 , 2 .

4. Побудувати за матрицями 1, 2 , Q1, Q2 матрицю D zzT .

5.Найти матрицю власних значень Λ і матрицю власних векторів Q для матриці D zzT .

6.Побудувати матрицю власних векторів Q матриці T:

тання до процедури dc _ eig Ti , Qi , i потребують 2t n / 2 арифметичних

39