МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до лабораторної роботи

«Ітераційні методи знаходження власних значень і векторів»

та курсового проектування

з курсів «Чисельні методи», «Обчислювальні методи»

для студентів напрямків 6.040303 «Системний аналіз», 6.040302 «Інформатика»

Затверджено редакційновидавничою радою університету,

протокол № 2 від 01.12.10

Харків НТУ «ХПІ» 2011

Методичні вказівки до лабораторної роботи «Ітераційні методи знаходження власних значень і векторів» та курсового проектування з курсів «Чисельні методи», «Обчислювальні методи» для студентів напрямків 6.040303 «Системний аналіз», 6.040302 «Інформатика» / Уклад.: Н.А. Марченко. – Х.: НТУ «ХПІ», 2011. – 52 с.

Укладач Н.А. Марченко

Рецензент Л.М. Любчик

Кафедра системного аналізу і управління

2

ВСТУП

З розвитком обчислювальної техніки велика увага приділяється чисельним методам, які широко застосовуються для розв’язання математичних, технічних і економічних задач. Серед них виділяють клас чисельних методів, які називаються ч и сел ьни ми ме то да ми л ін ій но ї а л ге бр и .

Сюди належать методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходження оберненої матриці, а також методи знаходження власних значень і векторів матриць.

Задача знаходження власних значень і векторів матриць є важливою для вирішення широкого кола питань обчислювальної математики. Її застосовують у диференціальних рівняннях, зокрема щодо проблеми стійкості, у механіці, радіофізиці та інших галузях. Але обчислення власних значень і власних векторів є однією з найважчих задач лінійної алгебри.

Пі д п о в но ю (а л ге бр а їч но ю а бо ма тр и ч но ю ) п р о бле мо ю вла сни х з на ч ень звичайно розуміють задачу знаходження всіх власних значень матриці, так само як і належних цим власним значенням векторів.

Методи для розв’язання повної проблеми можуть бути п р я ми ми (то чни ми ), тобто якщо їх здійснювати для матриць, елементи яких задані цілими числами, і обчислення проводяться за правилами дій над звичайними дробами, то в результаті буде отримане точне значення коефіцієнтів характеристичного полінома, і компоненти власних векторів будуть виражені точними формулами через власні значення. На жаль, не може існувати точного методу знаходження всіх власних значень довільної матриці порядку n 5 . Іншими словами, за кінцеву кількість арифме-

3

тичних операцій неможливо знайти всі власні значення довільної матриці при n 5 .

Узв’язку з тим, що власні значення матриці на ЕОМ знаходяться як корені характеристичного полінома одним з ітераційних методів відшукання нулів функції, прямі методи також часто називають к л а с и ч н и м и .

Крім класичних методів, використовуються і т е р а ц і й н і , в яких власні значення одержують як границю деяких числових послідовностей, також як і компоненти належних їм власних векторів. В ітераційних методах власні значення, як правило, обчислюються безпосередньо без попереднього знаходження коефіцієнтів характеристичного полінома. Ітераційні методи застосовуються для матриць великого розміру (часто сильно розряджених), коли неможливе застосування прямих методів, або для матриць, які доступні тільки через свої добутки з векторами.

Ітераційні методи також більш пристосовані до розв’язання ч а с т - ко во ї п р о бл еми вла сни х з на че нь , тобто задачі знаходження одного або декількох власних значень і відповідних їм власних векторів. Серед ітераційних методів пошуку власних значень і векторів довільної несиметричної матриці, що реалізовані в математичних пакетах, сьогодні найпоширенішим є QR-алгоритм зі зсувами, що практично завжди збігається за фіксовану кількість ітерацій.

Ме то ю ла бо р а то р но ї р о бо ти є вивчення студентами ітераційних методів знаходження власних значень і векторів довільних несиметричних матриць.

Уметодичних вказівках наведені основні теоретичні положення, на яких ґрунтуються ітераційні методи знаходження власних значень і векторів довільних несиметричних матриць, та виконана докладна постановка задач на лабораторну роботу. Методичні вказівки містять у собі велику кількість детально пояснених прикладів, які охоплюють розглянуті ітераційні методи знаходження власних значень і векторів матриць.

4