понували Дж. Френсіс (1961 р.) і В.М. Кублановська (1962 р.), які є авторами QR-алгоритму. Збіжність QR-алгоритму в цій формі для матриць загального вигляду не доведено. Винятком є симетричні тридіагональні матриці, для яких неявний QR-алгоритм з подвійними зсувами збігається асимптотично з кубічною швидкістю. Через відсутність гарантованої збіжності в програмах, що реалізовують QR-алгоритм для знаходження власних значень, передбачають можливість виходу з ітераційного процесу за заданою максимальною кількістю ітерацій, у ході яких не досягнуто дос-

татнього за певним критерієм зменшення добутку ank,n 1ank 1,n 2 .

Розглянуті чисельні методи розв’язання проблеми власних значень краще пристосовані до обчислення власних значень, ніж власних векторів. Застосування QR-алгоритму для знаходження власних векторів вимагає додатково на кожному кроці обчислювати і запам'ятовувати матрицю результуючого перетворення подібності

P k Q 0 Q k .

Ця операція дуже не вигідна, якщо необхідно визначити тільки кілька власних векторів. Крім того, обчислення матриці перетворення подібності ускладнює чисельний метод, тому що тепер складніше здійснити перехід до матриць меншого розміру з появою нульових піддіагональних елементів.

1.8.Методи розв’язання часткової проблеми власних значень

1.8.1.Загальна характеристика чисельних методів розв’язання часткової проблеми власних значень

Ча с тко ва п р о б ле ма в л а сни х зна ч ен ь складається у визначенні одного або декількох власних значень і відповідних їм власних векторів.

Всі чисельні методи розв’язання часткової проблеми власних значень

єітераційними і ґрунтуються на використанні різних властивостей власних значень і векторів. В основі цих методів покладено дві різні за своєю суттю ідеї.

В основу першої ідеї покладено припущення про існування в просторі базису з власних векторів. Тоді, виходячи з деякого довільного вектора,

28

будують послідовність векторів так, щоб у цій послідовності зі збільшенням кількості ітерацій переважала одна складова в розкладі за власними векторами. Побудована таким чином послідовність буде збігатися за напрямком до шуканого власного вектора. Одночасно визначається і відповідне цьому вектору власне значення.

Друга ідея ґрунтується на екстремальних властивостях власних значень і застосовується тільки до симетричних матриць. Методи, що використовують цю ідею, будують послідовність векторів, що дає максимум

Ax, x

(або мінімум) відношення скалярних добутків . x, x

1.8.2. Степеневий метод

Ст еп е не ви й м ето д (п р ямі іт ер а ц і ї , а л го р и т м Сто до ли , іте р а ц ій ни й м ето д ф о н Мі зе са , Р М - мето д , Po w er me th o d )

дозволяє визначити максимальне за модулем власне значення 1 та відповідний цьому власному значенню власний вектор x1 . Зазначений метод є

найпростішим для розв’язку часткової проблеми власних значень. Його використовують не широко, однак він відіграє важливу роль для розуміння і побудови інших, ефективніших методів.

Нехай А – дійсна матриця простої структури порядку n, тобто вона має n лінійно незалежних власних векторів, що утворюють базис простору:

Нехай нумерація цих векторів відповідає впорядкуванню відповідних їх власних значень за спаданням модулів, причому перша нерівність строга:

Сформулюємо задачу наближеного обчислення найбільшого за модулем власного значення 1 за припущенням про строге домінування його модуля у нерівності (16) і відповідного йому власного вектора x1 .

29

Розкладемо довільний ненульовий вектор y 0 за базисом із власних векторів x1, x2 , , xn :

Тоді в результаті k-ї ітерації отримаємо вектор

30

(20) зі збільшенням k буде переважати перший доданок. Це означає, що вектор y k від ітерації до ітерації даватиме щораз точніші наближення до

власного вектора x1 за напрямом, тобто з точністю до скалярного множника c1 k1 . Це твердження витікає з властивості для власних пар: якщо i , xi – власна пара матриці А і – деяке число ( 0 ), тоi , xi також буде власною парою для матриці А.

Отже, а лго р и тм ст еп е н ево го м ето ду полягає в такому.

1. Обирають довільний початковий вектор y 0 0 розміру n, задають точність ε та присвоюють k 1 .

2. У циклі за номером ітерацій k 1,2,3.... обчислюють вектор y k Ax k 1 .

31

3. Розглядають відношення відповідних компонент векторів k-ї та (k – 1)-ї ітерацій, причому відношення з надзвичайно малими за модулем знаменниками треба ігнорувати. Як тільки будуть сталими кілька перших цифр у всіх цих відношеннях, що можна виявити, наприклад, перевіркою

модулем власне значення з точністю, яка визначена останнім сталим у відношенні знаком. В протилежному випадку переходять до кроку 2.

Виходячи з формули (20), такий алгоритм степеневого методу при великій кількості ітерацій k може привести або до переповнення розрядів на ЕОМ при 1 1 , або до знищення значущих цифр ітерованих векторів,

якщо 1 1. Тому на практиці звичайно використовують модифікацію степеневого методу з нормуванням ітерованих векторів, так званий Р М -

ал г о р и т м :

1.Обирають пробний початковий вектор x 0 розміру n, у якого максимальний за модулем елемент дорівнює одиниці, а інші дорівнюють нулю, і задають точність ε.

32

6. Випробують число ik на збіжність. Якщо виявиться збіг необ-

хідної кількості знаків ik і ik 1 , тобто виконується умова

тоді процедура припиняється. За максимальне за модулем власне значення

нормований власний вектор – x k . В протилежному випадку необхідно покласти k k 1 і перейти до кроку 2.

РМ-алгоритму для пошуку максимального за модулем власного значення та відповідного йому власного вектора з точністю 0,01 .

33

Максимальний за модулем компонент вектора y 1 , тобто наближення до

шуканого власного значення, 4 . Обчислимо наближення до шуканого власного вектора

34

На цій ітерації умова досягнення збіжності також не виконується

Перевіримо виконання умов збіжності