Для знаходження інших власних значень треба обрати інший вектор початкового наближення.
1.5.Метод бісекції
Метод бісекції дозволяє знайти k-е за величиною власне значення, всі власні значення на заданому проміжку дійсної осі або всі власні значення симетричної тридіагональної матриці. Ідея метода ґрунтується на наступній теоремі.
Т е о р е м а . Нехай А – квадратна невироджена симетрична матриця порядку n і Ak означає головний мінор матриці, складений з
перших k рядків і стовпців, причому det Ak k , k 1, n . Тоді кількість від’ємних власних значень матриці S A дорівнює кількості змін знаків у послідовності 1, 1, 2 , , n .
Позначимо через n _ S A E . Тоді згідно з теоремою n _ 0 S A , тобто кількості від’ємних власних значень матриці А. З вла-
стивості власних значень матриць А і |
A E випливає, що n _ – кіль- |
||||
кість |
власних |
значень матриці |
А, |
менших |
за λ. Отже, величина |
n _ 2 |
n _ 1 |
– це кількість власних значень, |
що належать інтервалу |
||
1, 2 . Під час вибору величин |
1 і |
2 треба враховувати, що вони не |
|||
можуть дорівнювати власним значенням матриці А тому, що в цьому випадку матриці A 1E і A 2E будуть виродженими, а це суперечить
умові теореми.
Таким чином, для знаходження кількості власних значень матриці А, менших за λ, необхідно вміти швидко обчислювати кількість змін знаків у послідовності 1, 1, 2 , , n головних мінорів матриці A E . Ця функ-
ція може бути легко обчислена тільки для тридіагональних матриць, саме тому алгоритм методу бісекції передбачає попереднє приведення матриці до тридіагонального вигляду.
Для обчислення функції n _ для тридіагональних симетричних
матриць існує декілька способів. Перший спосіб базується на ідеї LUрозкладу матриці. Розглянемо тридіагональну матрицю А вигляду
26
a |
b |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
b1 |
a2 |
b2 |
0 |
|
|
0 |
|
|
||
A |
|
|
|
. |
(12) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
b |
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
n |
1 |
n 1 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
bn 1 |
an |
|
|||
Тоді LU-розклад можна отримати в наступному вигляді
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
l1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
||
L , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
ln 2 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
ln 1 |
1 |
|
|
|
||||||
u |
b |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
u2 |
b2 |
0 |
|
0 |
|
||
U |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
u |
|
b |
|
|
|
|
|
0 |
|
n 1 |
n 1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
un |
|
|
де елементи li і ui визначаються за формулами u1 a1;
l |
bi |
; |
(13) |
||
|
|||||
i |
ui 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ui ai li bi 1, |
i 2, n. |
||||
Якщо Ak , Lk , Uk – головні підматриці k-го порядку матриць A, L, U, що складені з перших k рядків і стовпців, тоді Ak LkUk . Отже, врахову-
ючи вигляд матриць Lk і Uk , |
|
|
|
det Ak k det Lk det Uk det Uk u1 u2 uk , |
|
|
|
k 1, n . |
|||
Таким чином, кількість змін знаків у послідовності |
1, 1, 2 , , n |
||
дорівнює кількості змін знаків у послідовності 1, u1,u2 , , un .
27
Під час реалізації на ЕОМ пам'ять для зберігання матриць L і U не виділяється. Треба додатково виділити пам'ять лише для зберігання вектора u u1,u2 , , un , що формує послідовність.
Для реалізації LU-розкладу за формулами (13) необхідно 2 n 1 мультиплікативних та n 1 адитивних операцій. Оскільки для обчислення
змін знаків необхідно ще не більше n додавань, то загальна кількість ари- |
|||||||||||||||||||||||||||||
фметичних операцій складає величину O n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Другій спосіб обчислення послідовності |
1, 1, 2 , , n ґрунтується |
||||||||||||||||||||||||||||
на використанні рекурентних формул. Розглянемо матрицю (12), тоді |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 a1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
a a b2 |
a b2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нехай для деякого |
k 2 мінори |
k det Ak і |
|
k 1 det Ak 1 |
вже |
||||||||||||||||||||||||
обчислені. Знайдемо k 1 |
det Ak 1 . |
|
Розглянемо |
визначник |
det Ak 1 |
||||||||||||||||||||||||
більш докладно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
b1 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
det Ak 1 |
b1 |
|
a2 |
|
b2 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 bk 1 |
ak |
|
bk |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 0 |
|
bk |
|
ak 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Для обчислення цього визначника виконаємо розклад за елементами |
|||||||||||||||||||||||||||||
останнього стовпця. В результаті отримаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a1 |
|
b1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
b1 |
|
a2 |
|
b2 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
k 1 |
a |
|
b |
|
|
a |
|
b2 |
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
k 1 k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 k |
|
k |
k |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
0 0 0 bk 2 |
ak 1 |
|
bk 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
bk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким чином, поєднуючи отримані результати, можна записати реку- |
|||||||||||||||||||||||||||||
рентну формулу для обчислення елементів послідовності: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
1; |
|
|
1 |
a1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
b2 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
k |
k |
k |
1 |
k 2 |
, |
2, n. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
28
Вираз (14) називають п о с л ідо в н іс тю Ш тур м а . З неї й вигляду матриці А випливають на с л ідки :
1.Ніякі два сусідніх мінори матриці (12) не можуть одночасно дорівнювати нулю.
2.Якщо мінор k , 1 k n, дорівнює нулю, то сусідні мінори від-
мінні від нуля й мають протилежні знаки.
3. Всі власні значення матриці (12) прості.
Обчислення за формулами (14) стійкі у випадку арифметики із плаваючої крапкою, але навіть для матриць малого порядку значення k при
k, близьких до порядку матриці n, виходить за межі діапазону допустимих для ЕОМ чисел. Особливо це відбувається, коли матриця має скупчення близьких власних значень. Тому часто послідовність k заміняють та-
кою послідовністю:
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
q |
k |
|
, |
k 1, n. |
||||
|
||||||||
|
|
k 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
Поліноми qk задовольняють співвідношенням
q1 a1; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
q |
|
a |
|
|
k |
, k 2, n. |
||
k |
k |
|
||||||
|
|
|
qk 1 |
|||||
|
|
|
|
|
||||
Нехай всі власні значення пронумеровані в порядку убування, тобто
1 2 n . Визначимо k-е власне значення незалежно від інших. |
|||||
Позначимо через |
n кількість власних значень матриці А, строго |
||||
більших за |
λ. |
Якщо |
відомі |
такі числа a0 , b0 , що |
b0 a0 , n a0 k , |
n b0 k , |
тоді |
k належить |
напівінтервалу a0 , b0 . |
Згідно з критерієм |
|
локалізації власних значень всі власні значення за модулем не можуть бу-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ти більшими за будь-яку з норм матриці, |
тобто |
i |
|
A |
, |
i 1, n . |
|
Тому |
|||||||||||||||||||||
звичайно приймають |
a |
|
|
, |
b |
|
|
|
A |
|
|
|
|
. |
Приймемо тепер |
c |
a0 |
b0 |
і |
||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
обчислимо n c0 . |
|
|
n c0 k , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Якщо |
|
|
k належить напівінтервалу |
||||||||||||||||||||||||||
c0 , b0 . Якщо n c0 k , |
то |
k |
належить напівінтервалу |
a0 , c0 . Тому |
|||||||||||||||||||||||||
завжди можна знайти напівінтервал довжини |
b0 a0 |
, що містить |
|
. По- |
|||||||||||||||||||||||||
|
k |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
29
вторюючи цей процес, одержимо систему вкладених інтервалів as , bs , що містять k , причому
bs as b0 s a0 . 2
Це дає можливість локалізувати власне значення k з довільної, наперед
заданою точністю. Для досягнення заданої точності ε необхідно виконати m кроків, причому m визначається з умови
|
b0 a0 |
|
, |
|
|
|
|||||
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тобто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
a |
|
1 |
2m , |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
звідси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
m log |
|
b |
a |
|
|
. |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
0 |
0 |
|
|
|
||
Метод бісекції можна використовувати для обчислення деякої підмножини власних значень, наприклад, тих, які розташовані на відрізкуa,b або мають номери i , i k . На його реалізацію не впливає наяв-
ність близьких або кратних власних значень, навіть великого їхнього скупчення. Бісекція обходиться тільки в O kn арифметичних операцій, де k –
кількість необхідних власних значень. Для QR-алгоритму потрібно O n2
операцій, тому бісекція може бути набагато швидше нього при k n . Відповідні власні вектори можуть бути знайдені за допомогою зворотної ітерації. В найкращому випадку, коли немає близьких власних значень, зворотна ітерація може також мати O kn операцій. У найгіршому випадку, коли є великі скупчення власних значень, трудомісткість зворотної ітерації зростає до O k 2n операцій, при цьому не гарантується якість об-
числених власних векторів (хоча на практиці вони майже завжди обчислюються з достатньою точністю).
30
Приклад 5. |
Методом бісекції знайти найбільше власне значення 1 |
||||
3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матриці A |
1 |
3 |
1 |
з точністю |
0,5 . |
|
0 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
Р о з в ' я з а н н я . |
Оцінимо |
норми |
|
|
|
A |
|
1 5 , тобто |
|
i |
|
5 , |
|
A |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
i 1, 2, 3 . Приймемо |
a0 5 , b0 |
5 і побудуємо послідовність Штурма |
|||||||||||
для матриці |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A E |
1 |
3 |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
Врезультаті отримаємо:
0 1; 1 a1 3 ;
2 a2 1 b12 0 3 2 1;
|
|
|
3 |
a |
2 |
b2 |
3 |
2 |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||||
Обчислимо значення послідовності на кінцях відрізка 5, 5 . |
|||||||||||||||||||
В |
точці |
-5: |
|
0 |
1 , |
|
1 8 , |
2 63 , |
3 496 ; |
n 5 0 , |
|||||||||
n 5 3 , змін знаків – 0, власних значень, менших за –5, немає. |
|||||||||||||||||||
В |
точці |
5: |
|
0 |
1, |
|
|
1 2 , |
|
2 3 , |
3 4 ; |
n 5 3 1, |
|||||||
n 5 0 1 , тобто є три власних значення на напівінтервалі |
5, 5 . Об- |
||||||||||||||||||
числимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
a0 b0 |
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
та будемо розглядати напівінтервал 0, 5 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
В точці 0: 0 |
1, |
1 3 , |
2 |
8 , 3 21; |
n 0 3 , переходів зна- |
||||||||||||||
ків нема, тобто є три власних значення на напівінтервалі 0, 5 . Покладемо |
|||||||||||||||||||
a1 c0 |
та обчислимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
c |
|
a1 b1 |
|
0 5 |
2,5 . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
31
В точці 2,5: 0 |
1, |
1 0,5 , 2 |
0,75 , |
3 |
0,875 . Переходів |
|||||||||||||||||||
знаків у послідовності 1, тобто n 2,5 1, n 2,5 2 1 . Тому покладемо |
||||||||||||||||||||||||
a2 c1 |
та обчислимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
a2 b2 |
|
|
2,5 5 |
|
3,75 . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В точці 3,75: 0 |
1 , |
1 0,75 , 2 0,438 , |
3 1,078 ; дві зміни |
|||||||||||||||||||||
знаків, |
n 3,75 1 , n |
3,75 2 , n 3,75 1, n 5 1 . Отже максимальне |
||||||||||||||||||||||
власне значення 1 3,75, 5 . Покладемо a3 |
|
c2 |
та обчислимо |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
c |
a3 b3 |
|
|
|
3,75 5 |
4,375 . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В точці 4,375: 0 1 , 1 1,375 , |
2 0,891 , |
3 0,15 ; дві зміни |
||||||||||||||||||||||
знаків, |
n 4,375 1, n 4,375 2 , |
n 3,75 1, |
n 5 1 . Отже максима- |
|||||||||||||||||||||
льне |
власне значення |
1 4,375, 5 . |
|
Умову |
збіжності |
процесу |
||||||||||||||||||
b3 a3 |
0,625 не виконано, тому покладемо a4 c3 |
та обчислимо |
||||||||||||||||||||||
|
|
c |
a4 b4 |
|
|
|
4,375 5 |
4,688 . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В точці 4,688: 0 |
1 , |
1 1,688 , |
2 |
1,848 , 3 |
1,43 ; три зміни |
|||||||||||||||||||
знаків, |
n 4,688 0 1 , n 4,688 3 1, n 3,75 1. Отже максимальне |
|||||||||||||||||||||||
власне значення 1 4,375, 4,688 . Умову збіжності ітераційного процесу |
||||||||||||||||||||||||
b4 a4 |
0,313 виконано, тому приймемо приблизно, що |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
c4 |
b4 |
|
|
4,375 4,688 |
4,531. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отже, отримана величина 1 |
|
відрізняється від точного власного зна- |
||||||||||||||||||||||
чення 1 4,414 |
менше, ніж на задану точність 0,5 . |
|
|
|||||||||||||||||||||
Приклад 6. |
Використовуючи |
|
дані |
прикладу |
5, |
методом |
бісекції |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|||
знайти власне значення 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
матриці |
A |
1 |
3 |
1 з точністю 0,5 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
32
Р о з в ' я з а н н я . |
|
Розгляд почнемо з точки c1 2,5 . Побудована по- |
||||||||||||||||||||||
слідовність Штурма в цій точці має один перехід знаку, тобто n 2,5 1, |
||||||||||||||||||||||||
n 2,5 2 2 . Тому, як і в попередньому прикладі, |
покладемо a2 c1 та |
|||||||||||||||||||||||
отримаємо, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
a2 b2 |
|
|
|
2,5 5 |
3,75 . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Було отримано, що послідовність Штурма в точці c2 3,75 має дві |
||||||||||||||||||||||||
зміни знака, тобто n 3,75 2 , |
n 3,75 1 2 , тому шукане власне зна- |
|||||||||||||||||||||||
чення 2 2,5, 3,75 . Покладемо |
|
b3 c2 та обчислимо |
|
|||||||||||||||||||||
|
c |
|
a3 b3 |
|
|
|
2,5 3,75 |
3,125 . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обчислимо послідовність Штурма в точці c3 3,125 . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
0 1 , |
1 0,125 , |
|
2 0,984 , 3 |
0,248 . |
|
||||||||||||||||||
У |
послідовності |
|
дві |
зміни |
|
|
знаків, |
|
тобто |
n 3,125 2 . |
Тоді |
|||||||||||||
n 3,125 1 2 . Отже, |
|
власне |
|
|
значення |
2 2,5, 3,125 . Покладемо |
||||||||||||||||||
b4 c3 |
та обчислимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
a3 b3 |
|
|
|
|
2,5 3,125 |
2,813 . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обчислимо послідовність Штурма в точці c4 2,813 . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
0 1 , |
1 0,188 , 2 |
0,965 , 3 0,368 . |
|
||||||||||||||||||||
В |
послідовності |
одна |
зміна |
|
знаків, |
|
тобто |
n 2,813 1 . |
Тоді |
|||||||||||||||
n 2,813 2 2 . Отже, |
|
власне |
|
значення 2 2,813, 3,125 . Покладемо |
||||||||||||||||||||
a5 c4 |
та перевіримо виконання умови збіжності ітераційного процесу |
|||||||||||||||||||||||
b5 a5 |
0,313 . Тобто умову збіжності виконано, тому приймемо приб- |
|||||||||||||||||||||||
лизно, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a5 b5 |
|
2,813 3,125 |
2,969 . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
33
Отже, отримана величина 2 відрізняється від точного власного зна-
чення 2 3 менше, ніж на задану точність 0,5 . |
|
|||||
Приклад 7. Використовуючи |
дані |
прикладу |
5, методом бісекції |
|||
|
|
3 |
1 |
0 |
|
|
знайти власне значення 3 матриці |
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
3 |
1 |
з точністю |
0,5 . |
|
|
|
0 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
Р о з в ' я з а н н я . |
Розгляд почнемо з точки c1 2,5 . Побудована по- |
||||||
слідовність Штурма в цій точці має один перехід знаку, тобто |
n 2,5 1, |
||||||
n 2,5 2 3 . Тому, |
на |
відміну |
від попередніх прикладів, |
покладемо |
|||
b2 c1 та отримаємо, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
a2 b2 |
|
0 2,5 |
1,25 . |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
2 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
||||
Обчислимо послідовність Штурма в точці c2 1,25 . |
|
||||||
0 1 , 1 1,75 , |
2 2,063 , 3 1,859 . |
|
|||||
Зміни знаків у послідовності нема, тобто n 1,25 0 , n 1,25 3 3 ,
всі власні значення лежать на осі праворуч від точки 1,25. Отже, власне |
||||||||||||||
значення 3 1,25, 2,5 . Покладемо a3 |
c2 та обчислимо |
|||||||||||||
|
c |
|
|
a3 |
b3 |
|
1,25 2,5 |
|
1,875 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Розглянемо послідовність Штурма в точці c3 1,875 . |
||||||||||||||
|
0 1 , |
1 |
1,125 , 2 0,266 , 3 0,826 . |
|||||||||||
У |
послідовності |
одна |
зміна |
знаків, |
|
тобто n 1,875 1. Тоді |
||||||||
n 1,875 2 3 . Отже, |
|
власне |
значення |
3 1,25, 1,875 . Покладемо |
||||||||||
b4 c3 |
та обчислимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
a4 b4 |
|
|
1,25 1,875 |
1,563 . |
|||||||
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Обчислимо послідовність Штурма в точці c3 1,563 . |
||||||||||||||
|
0 1 , |
|
1 1,438 , 2 |
1,066 , 3 0,095 . |
||||||||||
34