1.2.QR-алгоритм

Серед практичних методів обчислення всіх власних значень симетричних матриць ефективно реалізований QR-алгоритм є найшвидшим. Однак, якщо також потрібні всі власні вектори, то QR-алгоритм є найшвидшим тільки для матриць невеликого порядку ( n 25 ).

Особливості застосування QR-алгоритму пошуку власних значень і векторів для симетричних матриць полягають у наступному. По-перше, верхня трикутна форма Хессенберга, до якої попередньо приводять матрицю, буде тридіагональною. Тому симетричний QR-алгоритм часто нази-

вають тр и діа го на ль ни м QR - а л го р и т мо м або т р и д іа го на ль н о ю QR - і тер а ц ією .

По-друге, симетричність та тридіагональна структура матриці зберігаються після виконання шага QR-алгоритма, в тому числі і QR-алгоритма зі зсувом.

По-третє, всі власні значення симетричної дійсної матриці на відміну від загального випадка – дійсні. Тому в цьому випадку відсутня необхід-

Алгоритм 4. Для заданої симетричної матриці А порядку n і погрішності 0 :

1. Обчислити для заданої матриці A AT ортогональну матрицю Q таку, що QT AQ T має тридіагональну форму.

2.Для отриманої матриці Т покласти лічильник ітерацій k 0 і вико-

нати:

3.Вибрати величину зсуву sk поблизу деякого власного значення ма-

триці Т.

4. Обчислити QR-розклад для матриці:

T k sk E Q k R k

5. Визначити матрицю T k 1 :

T k 1 R k Q k sk E .

13

6.Якщо збіжність до власних значень не досягнута, покласти k k 1

іперейти до кроку 3.

Розглянемо стр а те г ії ви бо р у з су ву sk . Позначимо через Т наступну матрицю

Можна в якості зсуву обрати sk an . Однак ефективніше виконувати зсув на власне значення підматриці розміру 2 2, що охоплює елемент an :

Такий вибір зсуву відомий як зсу в Уі лк ін со на і його обчислюють за формулою

де d an 1 an . 2

Уілкінсон також довів, що асимптотично тридіагональна QR-ітерація збігається ку біч но за будь-якої стратегії вибору зсувів, але дав евристичне пояснення, чому зсув (7) кращий.

Проаналізуємо кі ль кіс ть а р и фме ти ч ни х о п ер а ц і й .

1. Приведення матриці А до симетричної тридіагональної форми Т

що потрібні і власні вектори.

2.Один крок тридіагональної QR-ітерації з одинарним зсувом має обчислювальну вартість у 6n арифметичних операцій.

3.Під час обчислення всіх власних значень матриці Т потрібно в середньому два кроки алгоритму на одне власне значення, що в сукупності дає

величину 6n2 арифметичних операцій.

14

4.Обчислення всіх власних значень і власних векторів матриці Т обходиться в 6n3 O n2 арифметичних операцій.

5.Загальна вартість пошуку всіх власних значень матриці А без обчи-

слення власних векторів складає 43 n3 O n2 арифметичних операцій.

6. Загальна вартість пошуку всіх власних значень і власних векторів матриці А складає 263 n3 O n2 арифметичних операцій.

При будь-якій практичній реалізації на ЕОМ тридіагональну матрицю Т бажано зберігати в двох векторах розміру n, а не в масиві розміру n n .

Приклад 2. Застосуємо QR-алгоритм з явним зсувом для пошуку

Обчислимо матрицю

15

додатно визначених матриць часто використовують його модифікацію, що називається ме то до м ска ляр ни х до бу тк ів (S P - а л го р и т мо м , S ca - la r p ro d u ct a lg o r ith m ).

Нехай Rn – евклідів простір, А – симетрична додатно визначена матриця порядку n, x1, x2 , , xn – власні вектори матриці, що відповідають

власним значенням 1, 2 , , n , y 0 – довільний n-вимірний ненульовий

початковий вектор. Основний крок степеневого методу полягає в побудові послідовності ітерованих векторів

причому швидкість збіжності до границі буде більшою, ніж у степеневого

Ал го р и т м мето ду ска л яр ни х до бу тк ів наступний.

Алгоритм 5. Для заданої симетричної матриці А порядку n, довільного n-вимірного ненульового початкового вектора y 0 , абсолютної похибки пошуку власного значення 1 0 :

17

а також наближення до нормованого власного вектора

3. Провести ітерацію нормованого вектора y k Ay k 1 .

4. Обчислити скаляри

s k y k , y k , t k y k , x k 1 ,

5. Обчислити наближення до найбільшого за модулем власного значення

6. Обчислити наближення до нормованого власного вектора, що відповідає найбільшому за модулем власному значенню

жному випадку покласти k k 1 та перейти до кроку 3.

18

границю. Тому існує інша назва методу скалярних добутків – ме то д ч а -

сто к Р е лея .

Приклад 3. Застосуємо SP-алгоритм для пошуку найбільшого за модулем власного значення та відповідного власного вектора матриці

Ро з в ' я за н ня . Приймемо в якості початкового вектора вектор

Наближення до найбільшого за модулем власного значення:

Тоді наближення до шуканого власного вектора становитиме:

19

Звісно, після першої ітерації умову збіжності не виконано. Тому покладемо k 2 і продовжимо ітераційний процес. На другій ітерації отримаємо такі проміжні результати:

Наближення до шуканої власної пари будуть такими:

ітерації треба продовжити. Остання шоста ітерація має такі проміжні результати:

Наближення до шуканої власної пари будуть такими:

Наявність ортонормованої бази із власних векторів x1, x2 , , xn матриці А дає можливість застосувати метод скалярних добутків для послідо-

20