2. Обчислення інтегралів Мора способом перемноження епюр (способом Верещагіна).

Обчислення інтегралів Мора істотно спрощується, якщо одна з епюр прямолінійна. Ця умова виконується для систем, що складаються з прямих стержнів, оскільки при цьому епюри внутрішніх сил від одиничного навантаження (зосередженої сили або пари) завжди обмежені прямими лініями.

Обчислимо інтеграл для випадку, колиепюра від заданого навантаження має довільну форму, а від одиничного – прямолінійна (рис. 2).

Позначимо через площу епюри,С – її центр ваги, – ординату епюри від одиничного навантаження під центром ваги епюри. Очевидно, щоє диференціалом площі епюри, а. Тоді шуканий інтеграл (1.6)

Інтеграл у правій частині рівняння є статичним моментом площі епюри відносно осіО-О:

де – абсциса центра ваги епюри.

Тоді , оскільки.

Отже, інтеграл Мора дорівнює добутку площі епюри від зовнішнього навантаження на ординату одиничної епюри, розташованої під центром ваги епюри від заданого зовнішнього навантаження. Загальна формула (1.3) для визначення переміщень у системах з прямих стержнів набирає вигляду:

(1.7)

Графоаналітичний спосіб визначення інтеграла Мора був запропонований О.М.Верещагіним і має назву способу Верещагіна. Обчислення за цією формулою виконують по ділянках, на кожній з яких епюра від одиничного навантаження повинна бути прямолінійною. Тоді, коли обидві епюри прямолінійні, можна множити площу будь-якої з них на ординату іншої під центром ваги першої.

Якщо епюра має складний вигляд, то її слід розбити на прості фігури, для яких легко визначити площу і положення центра ваги. При цьому кожну з площ треба множити на ординату одиничної епюри під центром ваги відповідної площі. Ординати в цьому разі зручно позначати замістьлітерами, де.

Отже,

(1.8)

Користуючись способом Верещагіна, необхідно пам'ятати, що добуток епюр позитивний, якщо ординати обох епюр відкладені з одного боку від осі стержня рами, і негативний, якщо ординати епюр відкладені з різних сторін. В тих випадках, коли одна з епюр криволінійна, береться площа криволінійної епюри, а ординатапід центром ваги з прямолінійної епюри. При цьому треба враховувати правило знаків: Якщо епюри, що перемножуються, лежать по одну сторону (обидві нагорі або внизу), добуток позитивний; якщо епюри, що перемножуються, лежать по різні сторони - добуток негативний. Якщо одна або обидві епюри перетинають в межах дільниці нульову ось, то слідує перемножувати епюри по частинам. Особливості застосування правила Верещагіна видно з рис. 3а,б.

Рис. 3

Переміщення від дії осьових і поперечних сил, а також крутних моментів виражаються аналогічно:

(1.9)

де - площа епюри,- площа епюри,- площа епюривід заданого навантаження;- ординати відповідних епюр осьових, поперечних сил і крутних моментів від одиничного навантаження, взяті під центрами ваги епюр,,.

Зазначимо, що епюри внутрішніх силових факторів від зовнішнього та одиничного навантажень на окремих ділянках стержня складаються з досить простих фігур: прямокутник, трикутник, парабола і т.д. Тоді для використання способу Верещагіна (1.8), (1.9) необхідно визначити площу та координату центра вагицих простих фігур:

Таблиця 1

Трикутник	Трикутник
Прямокутник	Парабола (квадратна) з вершиною в т. А
Парабола (квадратна) з вершиною в т.А	Парабола (кубічна) з вершиною в т.А

Продовження таблиці 1

Парабола (квадратна) з вершиною в т.А	Парабола (кубічна) з вершиною в т.А