8. 2. Внутреннее сопротивление уединенного круглого провода

Сопротивление проводника является суммой активного и индуктивного сопротивлений. Индуктивное сопротивление зависит от сцепленного с проводом магнитного потока. При решении задач по определению параметров цепи удобно суммарный магнитный поток делить на две части: внутренний (в проводах) и внешний (вне провода). Индуктивность проводника в этом случае разделяется соответственно на внутреннюю и внешнюю.

Внутренним сопротивлением провода (Z) называется зависящая от частоты часть полного сопротивления провода, состоящая из активного сопротивления R и реактивного сопротивления , где - внутренняя индуктивность провода. Внутреннее сопротивление можно определить как коэффициент пропорциональности на единице длины провода между продольной составляющей электрического поля на поверхности провода и полным током, протекающим через поперечное сечение провода.

Внутреннее сопротивление отличается от полного на величину jωL’’, где L’’ - внешняя индуктивность провода.

Для определения внутреннего сопротивления провода удобно использовать дифференциальное уравнение второго порядка для продольных составляющих Е_Z, электрического поля в области внутри провода. Значение Е _Z можно определить из уравнения (18, лекц. 5) с учетом следующих условий: изменение Е _Z на единицу длины проводника ничтожно мало по сравнению с изменением в направлении к оси проводника, поэтому величиной можно пренебречь; имеется осевая симметрия поля, и , следовательно, = 0. В этом случае уравнение (18, лекц. 5) примет вид :

(3)

Здесь через k обозначен коэффициент распространения волны в проводе, равный

(4)

Особенность уравнения (3) состоит в том, что коэффициент при производной первого порядка есть величина переменная, зависящая от параметра r.

По степени проявления поверхностного эффекта последний условно можно разделить на сильный и слабый. Такое разделение позволяет рассчитывать величину внутреннего сопротивления Z в случае сильного поверхностного эффекта по простым формулам.

Сильный поверхностный эффект. Если поверхностный эффект проявляется настолько сильно, что глубина проникновения поля в провод мала по сравнению с радиусом провода r ₀ , то можно не считаться с кривизной волны, проникающей в провод, т.е. положить, что и . В этом случае уравнение (3) превращается в обычное уравнение второго порядка с постоянным коэффициентами:

, (5)

аналогичное уравнению (9, лекц.5). Его решение определяет плоские волны в металлическом проводнике.

Решение уравнения (5) можно записать в виде :

(6)

Первое слагаемое соответствует отраженной волне, второе - падающей, так как убывает при удалении от оси провода, а - при приближении к оси провода.

Поскольку сделано предположение, что электромагнитное поле из пространства, окружающего провод, проникает в тонкий поверхностный слой проводника, то нет отраженной волны. Это значит, что А₁ = 0 , тогда с учетом выражения (4) из (6) получим

(7)

Для определения постоянной интегрирования, положим r = r ₀. Тогда

и

(8)

Отношение (8) есть отношение плотности тока в сечении радиуса r к плотности тока у поверхности проводника.

Если вместо радиуса r рассматривать расстояние от поверхности провода вглубь проводника а = (r ₀ - r), то формула (8) примет вид :

, (9)

где j (a) , j (0) - плотности тока соответственно на глубине а и у поверхности проводника.

Общий ток, текущий по проводнику, численно равен интегралу плотности тока по площади поперечного сечения, занятой током. Предполагая, что ток течет по плоскому проводнику, ширина поперечного сечения которого равна 2πr₀ , получим

, (10).

Заменив на S , получим

,

где i - полный переменный ток, протекающий по проводнику;

i ₀= S j(0) - постоянный ток, протекающий по проводнику при той же напряженности электрического поля.

Имея в виду, что отношение токов обратно отношению сопротивлений, внутреннее сопротивление проводника

(11)

где R ₀ - сопротивление проводника постоянному току.

Из выражения (11) следует, что при сильном поверхностном эффекте внутреннее реактивное сопротивление численно равно активному сопротивлению проводника и обе эти величины прямо пропорциональны квадратному корню от частоты.

Слабый поверхностный эффект. Если глубина проникновения поля (тока) в провод соизмерима с радиусом его сечения и требуется учитывать кривизну волны, наблюдается слабый поверхностный эффект. В этом случае математически задача более сложна и требует решения дифференциального уравнения (3) с переменными коэффициентами, называемого уравнением Бесселя нулевого порядка.

Общее решение этого уравнения выражается через функции Бесселя от комплексного аргумента (jkr) в виде :

(12)

где А ₁ и А ₂ - постоянные интегрирования;

J₀ (jkr) и N₀ (jkr) - функции Бесселя соответственно первого и второго родов нулевого порядка.

Функция J₀(jkr) относится к одной из разновидностей так называемых цилиндрических функций. Она трансцендентна и вычисляется через разложение в асимптотический ряд. Зависимость изменения модуля этой функции от аргумента (|k|r) соответствует кривой 1 на рис.6, откуда видна некоторая аналогия с характером изменения модуля показательной функции е^kr (кривая 2), характеризующей степень ослабления плоской волны. Цилиндрическая волна в проводнике ослабевает медленнее, чем плоская.

Рис. 6

Первое слагаемое в уравнении (12) можно трактовать как падающую волну цилиндрической формы в отличие от падающей плоской волны, которой соответствует слагаемое - А₂ е^kr в уравнении (6). Второе слагаемое в уравнении (34) соответствует отраженной волне, но так как энергия падающей волны расходуется на нагрев тонкого поверхностного слоя проводника, то отраженной волны нет. Это значит, что А₂ = 0. Тогда искомое решение имеет вид:

(13)

Отсюда

(14)

Умножая обе части последнего равенства на проводимость проводника, получим для плотности тока

. (15)

Отношение / характеризует поверхностный эффект в случае цилиндрической волны. При заданном материале проводника степень уменьшения напряженности поля внутри проводника зависит не только от частоты тока, но и от диаметра проводника. На рис.7 кривые 1, 2 ,3 характеризуют уменьшение плотности тока при частоте f = 100 кГц в N раз в зависимости от расстояния r ₁ от поверхности проводника при его диаметре соответственно равном 1; 1,2; 1,4 мм. Кривая 4 соответствует плоской волне. Из рассмотрения приведенных кривых видно, что крутизна уменьшения плотности тока в цилиндрическом проводнике возрастает с увеличением диаметра проводника. Это обстоятельство следует учитывать при выборе диаметра жил кабеля для работы высокочастотных систем передачи.

Рис. 7

Для определения полного тока в проводе воспользуемся вторым уравнением системы (2, лекц.5). Интересующая нас составляющая в цилиндрических координатах имеет вид :

. (16)

Так как внутри проводника токи текут только вдоль оси проводника, принимаемый нами за ось z , то в уравнении (16) параметр Е _r = 0 и

(17)

Подставив в уравнение (17) значение параметра Е _z из выражения (14), получим

(18)

где - производная от по r .

Полный ток в проводе можно определить из уравнения .

Интегрирование вдоль магнитной силовой линии, проходящей по поверхности провода, дает

(19)

Полное внутреннее сопротивление единицы длины провода

(20)

Так как , то выражение (20) можно представить следующим образом: (21)

Обозначая отношение R/ R ₀ через k ₁ , а через k₂ , где - внутренняя индуктивность провода при постоянном токе . Коэффициенты k ₁ и k ₂ , связывающие параметры провода при переменном токе с параметрами провода при постоянном токе, определяются из выражения (21):

1. 

Коэффициент k₂ получен с учетом того, что .

Коэффициенты k₁ и k₂ зависят от произведения величин k r ₀. Вычисление коэффициентов k₁ и k₂ требует определения значений функций J₀ (jkr₀) и J₀^’ (jkr₀) комплексного аргумента, так как , что весьма затруднительно.

Для упрощения расчетов сопротивления и индуктивности проводов круглого сечения при переменном токе составлены таблицы и графики значений k₁ и k₂ в зависимости от значений величины

(24)

где d = 2 r ₀ - диаметр проводника.

В том случае, когда требуется рассчитать индуктивность и сопротивление двухпроводной кабельной цепи, задача по сравнению с рассмотренной значительно усложняется за счет необходимости учета эффекта близости, т.е. воздействия внешнего поля от второго проводника цепи.