Структурные схемы цифровых фильтров

Алгоритмы цифровой фильтрации сигналов представляются в виде структурных схем, базовые элементы которых показаны на рисунке ниже. Как правило, структурные схемы соответствуют программной реализации фильтров на ЭВМ, но не определяют аппаратной реализации в специальных радиотехнических устройствах, которая может отличаться от программной реализации.

Фильтр также может быть представлен в виде графа, который отображает диаграмму прохождения сигналов, и состоит из направленных ветвей и узлов.

Пример структурной схемы фильтра с передаточной функцией H(z) = (1+b₁z)/(1+a₁z) и графа, ей соответствующего, приведен на рисунке ниже.

Скаждым i - узлом графа связано значение сигнала x_i(k), которые определяются суммой всех сигналов входящих в узел ветвей. В каждой ij - ветви (из узла i в узел j) происходит преобразование сигнала в соответствии с передаточной функцией ветви, например задержка сигнала или умножение на коэффициент.

Соединение фильтров

1. Последовательное соединение. Выходной сигнал предшествующего фильтра является входным для последующего. Эквивалентная передаточная функция общей системы равна произведению передаточных функций фильтров, в нее входящих:

h(z) = h₁(z)h₂(z)...h_n(z).

2. Параллельное соединение. Сигнал подается на входы всех параллельно соединенных фильтров одновременно, выходные сигналы фильтров суммируются. Эквивалентная передаточная функция общей системы равна сумме передаточных функций фильтров, в нее входящих:

h(z) = h1(z)h2(z)...hn(z).

3. Сигнал с обратной связью. Сигнал первого фильтра подается на выход системы и одновременно на вход фильтра обратной связи, выходной сигнал которого суммируется, со знаком плюс или минус в зависимости от вида связи (отрицательной или положительной), с входным сигналом системы. Эквивалентная передаточная функция системы:

h(z) = h₁(z)/(1h₁(z)h₂(z)).

Схемы реализации

По структурной реализации фильтров различают следующие схемы:

1. Пряма форма реализуется непосредственно по разностному уравнению

или по передаточной функции

2. Прямая каноническая форма содержит минимальное число элементов задержки. Передаточную функцию РЦФ можно представить в следующем виде:

3. Каскадная форма соответствует представлению передаточной функции в виде произведения:

Проектирование фильтров

Используется 2 метода проектирования - метод взвешивания и метод частотной выборки.

Метод взвешивания

Наиболее привлекательными с точки зрения проектирования являются трансверсальные фильтры, обладающие конечной импульсной характеристикой. Как уже было отмечено, коэффициенты трансверсального фильтра совпадают с отсчетами его импульсной характеристики. Если исходными данными для проектирования является именно импульсная характеристика фильтра, то проектирование не требует вообще никаких усилий. Обычно, однако, исходными данными является требуемая амплитудно-частотная характеристика фильтра (АЧХ) H(). В этом случае отсчеты импульсной характеристики должны выражаться через АЧХ:

Метод частотной выборки

Попытаемся создать цифровой фильтр, частотная характеристика которого в конечном числе точек совпадает с заданной характеристикой H(). Пусть количество этих точек равно N. Тогда справедлива система:

Передаточная и частотная характеристика любого цифрового фильтра с сосредоточенными параметрами полностью определяется заданием конечного набора нулей и полюсов:

Если в выражении выше принять N+M+1=K, то система действительно превращается в систему уравнений относительно K неизвестных коэффициентов цифрового фильтра и проектирование цифрового фильтра сведется к решению этой системы. Остается проблема выбора – сколько нулей и сколько полюсов должна содержать передаточная характеристика создаваемого фильтра. Даже если решить эту проблему, то останется опасность, что рассчитанный фильтр будет иметь полюсы передаточной характеристики, лежащие вне единичной окружности, и, следовательно, не будет устойчивым. Этих осложнений можно избежать, если полностью отказаться от полюсов передаточной характеристики. В результате частотная характеристика фильтра определяется K коэффициентами a_n, которые к тому же являются отсчетами импульсной характеристики фильтра h_n=a:

Решение данной системы дает непосредственно коэффициенты трансверсального фильтра, при этом на выбранные частоты не накладываются никаких ограничений. Данный метод проектирования цифровых фильтров позволяет проектировать фильтры с конечной импульсной характеристикой и называется методом частотной выборки.