Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Рефераты АпЦ / Реферат 4

.doc
Скачиваний:
38
Добавлен:
05.09.2014
Размер:
354.82 Кб
Скачать

Федеральное агентство по образованию

Прямая соединительная линия 24

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет «ЛЭТИ»

Прямая соединительная линия 23

Кафедра ВТ

Реферат № 4

по дисциплине

«Алгоритмы и процессоры цифровой обработки сигналов» на тему

«Линейная свертка детерминированных последовательностей»

Выполнил:

Группа:

Санкт-Петербург

2013

Оглавление

Оглавление 2

Периодическая свертка (круговая) 3

Cвязь между линейной и круговой сверткой 3

Секционированные свертки 4

Свёртка последовательностей — это результат перемножения элементов двух заданных числовых последовательностей таким образом, что члены одной последовательности берутся с возрастанием индексов, а члены другой — с убыванием.

К традиционным типам сверток относятся:

  • линейная свертка;

  • круговая свертка (периодическая);

  • круговая свертка (апериодическая);

  • свертка с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

Периодическая свертка (круговая)

Во многих случаях приходится иметь дело с периодическими последовательностями. В случаях, когда последовательность непериодична, она наблюдается на конечном интервале длительностью N отсчетов и может быть периодически продолжена за пределами этого интервала. Последовательности hi и xi периодичны с периодом N каждая, выходная последовательность также имеет период N и определяется уравнением круговой (периодической, циклической) свертки.

В    силу   периодичности   последовательностей   предполагается,  что X-1=XN-1, X-2=XN-2, X-3=XN-3 и т.д. Аналогичные соотношения справедливы и для последовательности hi.  Если последовательности hi и xi имеют разное число отсчетов, то более длинную последовательность усекают до длины меньшей или короткую дополняют нулями до большей длины.

Cвязь между линейной и круговой сверткой

Последовательность xi имеет длину Ni, последовательность hl – длину N2. Дополним последовательности xi и hl нулями до N1+N2-1. Получим последовательности и  обе длиной N1+N2-1. В результате линейная свертка последовательностей и  будет равна (N1+N2-1) – точечной круговой свертке последовательностей и .

Таким образом, линейная свертка может быть вычислена через круговую.

Секционированные свертки

Во многих задачах необходимо вычислять свертку двух конечных последовательностей, когда одна из них гораздо длиннее другой (N1>>N2). Можно выбрать L равным N1+N2-1, но такой способ неэффективный и неудобный.

  1. Перед вычислением свертки нужно иметь всю более длинную последовательность. Но на практике это условие не всегда выполнимо.

  2. Т.к. обработка начинается после приема всей последовательности, то результат получится с большой задержкой.

  3. При слишком больших N1+N2-1 вычисление ДПФ значительно усложняется, т.к. для этого требуется большой объем памяти и возникают трудности с алгоритмами быстрого преобразования Фурье.

Есть 2 метода свертки, которые лишены данных недостатков. Оба основаны на разбиении более длинной последовательности на секции и вычислении частичных сверток, из которых затем формируется искомая выходная последовательность.

Первый из них называется методом перекрытия с суммированием. Предположим, что последовательность x(n) не ограничена, a h(n) содержит N2 отсчетов. Разделим последовательность  x(n) на смежные секции длиной по N3 отсчетов. Выбор N3 довольно сложен, но хорошие результаты получаются, если N3 является величиной того же порядка, что и N2. Итак, входная последовательность x(n) представляется в виде .

где

Линейная свертка последовательности равна

Длина каждой из частичных сверток в сумме равна N3+N2-1 отсчетам, т. е. имеется участок длиной в N2-1 отсчетов, на котором k-я и k+1-я частичные свертки перекрываются, поэтому их отсчеты на участке перекрытия нужно сложить. На рисунке выше показано, как расположены и как суммируются соседние частичные свертки yk(n). Данный метод был назван методом перекрытия с суммированием именно потому, что промежуточные частичные свертки перекрываются и для получения конечного результата их необходимо сложить.

Второй метод вычисления линейной свертки последовательностей, одна из которых значительно длиннее другой, также основан на секционировании более длинной последовательности. Его называют методом перекрытия с накоплением, причем в данном случае перекрываются входные, а не выходные секции. Ошибочные отсчеты круговых сверток отдельных секций отбрасываются. Остальные отсчеты накапливаются и из них формируется конечный результат. Последовательность h(n) содержит N2 отсчетов, а последовательность x(n) разделена на секции xh(n) длиной по N3+N2-1 отсчетов, перекрывающиеся друг с другом на участках длиной по N2-1 отсчетов.

Для каждой секции вычисляется круговая свертка последовательностей h(n) и xh(n), содержащая N3+N2-1 отсчет. В результате получается набор последовательностей yh(n). Последние N2-1 отсчетов каждой из последовательностей yh(n) отбрасываются, а остальные присоединяются к правильным отсчетам последовательности yh-1(n)  и т. д. В результате получается искомая последовательность, тождественная свертке y(n). В результате используя метод перекрытия с суммированием или метод перекрытия с накоплением, можно сравнительно легко найти свертку короткой и очень длинной последовательностей, причем результат получается в виде отдельных небольших секций, которые объединяются соответствующим образом в одну последовательность.

Соседние файлы в папке Рефераты АпЦ