Рефераты АпЦ / Реферат 4
.docФедеральное агентство по образованию
Санкт-Петербургский государственный
электротехнический университет «ЛЭТИ»
Кафедра ВТ
Реферат № 4
по дисциплине
«Алгоритмы и процессоры цифровой обработки сигналов» на тему
«Линейная свертка детерминированных последовательностей»
Выполнил:
Группа:
Санкт-Петербург
2013
Оглавление
Оглавление 2
Периодическая свертка (круговая) 3
Cвязь между линейной и круговой сверткой 3
Секционированные свертки 4
Свёртка последовательностей — это результат перемножения элементов двух заданных числовых последовательностей таким образом, что члены одной последовательности берутся с возрастанием индексов, а члены другой — с убыванием.
К традиционным типам сверток относятся:
-
линейная свертка;
-
круговая свертка (периодическая);
-
круговая свертка (апериодическая);
-
свертка с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ).
Периодическая свертка (круговая)
Во многих случаях приходится иметь дело с периодическими последовательностями. В случаях, когда последовательность непериодична, она наблюдается на конечном интервале длительностью N отсчетов и может быть периодически продолжена за пределами этого интервала. Последовательности hi и xi периодичны с периодом N каждая, выходная последовательность также имеет период N и определяется уравнением круговой (периодической, циклической) свертки.
В силу периодичности последовательностей предполагается, что X-1=XN-1, X-2=XN-2, X-3=XN-3 и т.д. Аналогичные соотношения справедливы и для последовательности hi. Если последовательности hi и xi имеют разное число отсчетов, то более длинную последовательность усекают до длины меньшей или короткую дополняют нулями до большей длины.
Cвязь между линейной и круговой сверткой
Последовательность xi имеет длину Ni, последовательность hl – длину N2. Дополним последовательности xi и hl нулями до N1+N2-1. Получим последовательности и обе длиной N1+N2-1. В результате линейная свертка последовательностей и будет равна (N1+N2-1) – точечной круговой свертке последовательностей и .
Таким образом, линейная свертка может быть вычислена через круговую.
Секционированные свертки
Во многих задачах необходимо вычислять свертку двух конечных последовательностей, когда одна из них гораздо длиннее другой (N1>>N2). Можно выбрать L равным N1+N2-1, но такой способ неэффективный и неудобный.
-
Перед вычислением свертки нужно иметь всю более длинную последовательность. Но на практике это условие не всегда выполнимо.
-
Т.к. обработка начинается после приема всей последовательности, то результат получится с большой задержкой.
-
При слишком больших N1+N2-1 вычисление ДПФ значительно усложняется, т.к. для этого требуется большой объем памяти и возникают трудности с алгоритмами быстрого преобразования Фурье.
Есть 2 метода свертки, которые лишены данных недостатков. Оба основаны на разбиении более длинной последовательности на секции и вычислении частичных сверток, из которых затем формируется искомая выходная последовательность.
Первый из них называется методом перекрытия с суммированием. Предположим, что последовательность x(n) не ограничена, a h(n) содержит N2 отсчетов. Разделим последовательность x(n) на смежные секции длиной по N3 отсчетов. Выбор N3 довольно сложен, но хорошие результаты получаются, если N3 является величиной того же порядка, что и N2. Итак, входная последовательность x(n) представляется в виде .
где
Линейная свертка последовательности равна
Длина каждой из частичных сверток в сумме равна N3+N2-1 отсчетам, т. е. имеется участок длиной в N2-1 отсчетов, на котором k-я и k+1-я частичные свертки перекрываются, поэтому их отсчеты на участке перекрытия нужно сложить. На рисунке выше показано, как расположены и как суммируются соседние частичные свертки yk(n). Данный метод был назван методом перекрытия с суммированием именно потому, что промежуточные частичные свертки перекрываются и для получения конечного результата их необходимо сложить.
Второй метод вычисления линейной свертки последовательностей, одна из которых значительно длиннее другой, также основан на секционировании более длинной последовательности. Его называют методом перекрытия с накоплением, причем в данном случае перекрываются входные, а не выходные секции. Ошибочные отсчеты круговых сверток отдельных секций отбрасываются. Остальные отсчеты накапливаются и из них формируется конечный результат. Последовательность h(n) содержит N2 отсчетов, а последовательность x(n) разделена на секции xh(n) длиной по N3+N2-1 отсчетов, перекрывающиеся друг с другом на участках длиной по N2-1 отсчетов.
Для каждой секции вычисляется круговая свертка последовательностей h(n) и xh(n), содержащая N3+N2-1 отсчет. В результате получается набор последовательностей yh(n). Последние N2-1 отсчетов каждой из последовательностей yh(n) отбрасываются, а остальные присоединяются к правильным отсчетам последовательности yh-1(n) и т. д. В результате получается искомая последовательность, тождественная свертке y(n). В результате используя метод перекрытия с суммированием или метод перекрытия с накоплением, можно сравнительно легко найти свертку короткой и очень длинной последовательностей, причем результат получается в виде отдельных небольших секций, которые объединяются соответствующим образом в одну последовательность.