I) Рассмотрим как находится значение л(п), выполнив необходимые построения и заполнив таблицу (табл.1).

(серым в таблице отменена та, часть которую учащиеся должны заполнить самостоятельно)

Таблица 1

|

к

/7=1

п=2

п-3

я= 4

Ж 0=2

Л(2)=4

А(3)=7

А( 4)= 1 S

Выполнять построение, для того чтобы найти значение при и=5, и тем более при п=20, не рационально.

Для решения задачи выявите закономерность, по которой образуются значения: 2+2=4; 4+3=7; 7+4=11.

Эти значения занесите в таблицу (табл. 2).

Таблица 2 п— 1	п=2	«=3	п=4	п=5	п=6	ч=7
Л(])=1 + ]	А( 2)=2+ 2	А{ 3)=4+ 3	А(4)=7+4	Л(5)=П+5	А{ 6)= 16+6	Л (7)^22+7
А( t)=2	Л{ 2)=4	А(3)=7	А{ 4)=11	Л(5)=16	А{ 6)=22	А( 7)=29
1 + 1	1+1+2	1+1+2+	1+1+2+3	1+1+2+3+4	I+1+2+3+4+5	1+1+2+3+4+5+6
		3	+4	+5	"('6	+7

2) Каждое значение А(п) отличается от предыдущего на соо тветствующее значение п. 3 )А(п)= 1+1+2+3+....+я;

4) Используя это общее правило построения последовательности, найдем значение для я = 20.

/1(20)= 1+1+2+3+4+....+20 = 211, Ответ: А(4)=11, А(5)=16. А(20)=211

Задание 5. Ответь на следующие вопросы. Изменилось ли настроение после решения задачи? За что ты можешь себя похвалить после решения задачи?

Рис. 6 Пример ООД первого тип

а

Под вопросом принято понимать форму мысли, в которой выражено требование уточнить или получить новую информацию на основе уже имеющейся. Вопрос отражает субъективное незнание и выступает в качестве средства познания.

«Ответ — это высказывание, которое есть результат интеллектуальной деятельности (решения задачи), обусловленной и управляемой вопросом» [174, с. 149]

Вопросно-ответный метод обучения обеспечивает более полное понимание школьниками содержания учебного материала и, как следствие, более продуктивное усвоение изучаемого материала. Он также способствует развитию у учащихся навыков самостоятельного поиска решения задач, способствует выработке приемов оценки различных мнений, предположений, гипотез, критическому анализу аргументов. Вопросно-ответные системы являются средством управления учебно-познавательной деятельность учащихся и структурирования процесса познания, поскольку становится возможным сочетать процессы открытия новых знаний, обоснование и их проверку [162].

При построении последовательности вопросов мы придерживались следующих принципов: 1) ясность, определенность, недвусмысленность; 2) системность, последовательность постановки вопроса, логическая зависимость между вопросами; 3) обоснованность вопросов (истинность его предпосылок). А так же были использованы три основные типа вопросов:

• «Прямо сейчас», ответ на такие вопросы строиться на припоминании известных фактов и понимании описанных операций, действий, процедур;

• «Подумай и поищи», ответы на такие вопросы требуют более глубокого анализа данных, и их применение в новых условиях;

• «Сравни и сделай выводы», ответ на эти вопросы в готовом виде не встречались учащимся ни в рассказе учителя, ни в тексте учебника, ни в других источниках, и могут быть получен на основании выполненного синтеза изученного ранее материала.

4. Задания и вопросы, направленные на осуществление рефлексии

результатов познавательной деятельности:

S сформулируйте основные положения, идеи, предположения,

закономерности полученные в ходе решения;

S объясните идею решения одноклассникам;

•S придумайте задачу, в которой может быть использован,

полученный данные;

■S какие сложности возникли и как они преодолены;

S что было сделано и что было сделано хорошо;

S что вызвало наибольший интерес и почему;

S что ты понял, чему научился и т.п.?

Приведем пример ООД второго типа (рис. 7) к вышеприведенной задаче.

Содержание вопросно-ответной системы для каждой определенной

задачи уникально. В приложении 5 приведены вопросно-ответные системы

для задач из разработанного комплекса.

Задача. Пусть А(п) - наибольшее число частей, на которые плоскость делится п прямыми. Так А(1) = 2, А(3) = 7. Найдите А(4), А(5), А(20).

Задание 1. Вызвало ли что-нибудь сложность в понимании условия задачи? Задание 2. Проиллюстрируйте А(1) = 2, А(3) = 7.

Задание 3. Для того, что бы найти решение задачи ответь на следующие вопросы.

1. Как следует проводить прямые для того, что бы они разбивали плоскость на наибольшее число частей?

2. Для каких значений п, возможно найти А(п) по рисунку?

3. Каким рациональным способом следует искать А(20)?

4. Какая арифметическая зависимость есть между п и А(п)?

5. Можно ли используя эту зависимость найти А(20)? Задание 4. Ответь на следующие вопросы.

Что нового узнали из этой задачи? Какой этап решения вызвал сложности и почему? Как можно назвать метод решения это задачи?

Рис. 7. Пример ООД второго типа Дидактические материалы третьего типа соответствуют уровню самообразования мотивации к учебно-познавательной деятельности, служат основой для организации творческого вида деятельности учащихся и

содержат: содержат эвристическое предписание по решению задачи; задания, направлены на выполнение учащимися рефлексии своей деятельности.

1. Эвристические приемы решения задач.

Дж. Пойа [151] трактует слово «эвристический» как служащий открытию. Под приемом деятельности понимается система действий, выполняемых в определенном порядке и служащих для решения учебных задач. Под эвристическим приемом, согласно В.И. Андрееву [4], понимается система действий, позволяющая учащимся рационально осуществлять поиск решения нестандартных математических задач.

А.Оганесян [100] эвристическим методом обучения понимает «наиболее общую систему подхода к решению данных заданий и проблем, которая направлена на приобщение учащихся к самостоятельным открытиям новых для них закономерностей в процессе познавательной деятельности, причем по правилам, аналогичным научному творчеству».

Функции эвристических предписаний (по Е.Е.Семенову) [168]:

1. средство мотивации при выборе, предпочтении тех или иных действий;

2. средство осознания общности решаемых математических задач, их единства;

3. систематизация изученного и изучаемого материала;

4. способ установления аналогии;

5. способ приобретения знаний, их "добывания";

6. источник внутренней установки на познавательную деятельность;

7. способ организации диалога (делают его более продуктивным);

8. способ подведения обучаемого к математическому открытию;

9. способ создания сюжетной канвы, сюжетной оболочки.

Приведем несколько примеров использования эвристических приемов,

из тех которые мы применяли в эксперименте для обучения учащихся 5-6 классов решению нестандартных математических задач. Учащимся данные приемы предлагались в форме рекомендаций к поиску решения [172]. Содержание всех основных эвристических приемов, использованных в эксперименте, приведено в приложении 6.

Подсчёт двумя способами.

1. Некоторую величину из условия задачи подсчитайте двумя способами.

2. Приравняйте полученные два значения.

3. Основываясь на полученном равенстве, находите ответ задачи или выявите противоречие, которое позволяет заключить, что задача не имеет решения.

Задача 4. В группе учащихся, посещающих курсы английского языка, меньше 16 человек. Причем каждый мальчик из группы дружит с 7 девочками, а каждая девочка с 5 мальчиками. Сколько в группе мальчиков и сколько девочек?

Решение. Пусть т - число мальчиков, с1 - число девочек. Найдём двумя способами общее количество дружеских связей. Поскольку каждый мальчик дружит с 7 девочками, то это число равно 7т, с другой стороны, каждая девочка дружит с 5 мальчиками, значит это число равно 5(1. Получаем уравнение 7т = 5(1, значит, для того, чтобы выполнялось равенство необходимо, чтобы количество мальчиков делилось на 5, а количество девочек на 7. Мальчиков в группе может быть 5 или 10, девочек 7 или 14. Поскольку т + (1 <16, то т = 5, (1 = 7.

Обратный ход.

Этот метод применяется для решения задач, последовательность действий в которых описывается с помощью обратимой операции.

1. Определите основную величину задачи.

2. В условии задачи найдите последнее значение этой величины.

3. восстановите последовательность действий выпоенных над величиной в обратном порядке.

Задача 5. Три девочки решили разделить 120 конфет поровну. Сначала Полина дала Вале и Тане столько конфет, сколько у них было. Затем Валя дала Тане и Полине столько, сколько у них стало. И наконец, Таня дала Полине и Вале столько, сколько у них к этому моменту имелось. Сколько конфет было у каждой девочки вначале?

Решение. Мы знаем, что в конце у всех оказалось по 40 конфет, а перед этим у Полины и Вали было вдвое меньше. Значит, у Полины и Вали было по 20, а у Тани - 80. А перед этим у Полины и Тани было вдвое меньше, то есть у Полины было 10, у Тани - 40, а у Вали — 70. И наконец возьмём половину конфет у Вали и Тани и вернём Полине. У Полины было 65 конфет, у Вали — 20, а у Тани — 35.

Разбейте задачу на подзадачи.

Задача 6. Докажите, что п(п + 1)(п + 2) делится на 6 при любом целом п.

Решение. Для того, чтобы доказать, что некоторое произведение делится на 6, достаточно доказать, что хотя бы один из множителей делится на 3, и хотя бы один из множителей делится на 2. В результате, исходную задачу можно разбить на две подзадачи.

Задача 6.1. Докажите, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 2.

Задача 6.2. Докажите, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 3.

Сведите задачу к более простой, последовательно изменяя условие задачи.

Задача 7. Каждый ученик класса работал хотя бы на одном из двух

2

субботников. На каждом субботнике мальчиков было не больше ⁵ от общего

4

числа. Докажите, что во всем классе мальчиков не больше 7 .

Решение. Если использовать условие без упрощения, то придется решение строить следующим образом: рассмотреть количество мальчиков, работавших только на первом субботнике, работавших только на втором субботнике, работавших на двух (то же для девочек), а затем составить и решить системы уравнений и неравенств.

Для того, чтобы избежать такого громоздкого решения, сведем задачу к более простой, выполнив несколько шагов. После каждого шага упрощения становится очевидным следующий шаг.

Будем увеличивать число мальчиков в классе, не изменяя числа девочек и не нарушая условия задачи.

1. шаг. Условимся считать, что все девочки работали на двух субботниках. От этого доля мальчиков в классе не изменится, а их доля на субботниках уменьшится.

2. шаг. Условимся считать, что каждый мальчик работал только на одном субботнике. Доля мальчиков на субботнике уменьшится.

3. шаг. Если на одном субботнике было меньше мальчиков, чем на другом, то добавим в класс мальчиков. Доля мальчиков на субботниках

2

останется не больше ⁵ , но доля мальчиков в классе увеличится. Можно считать, что мальчиков было на субботниках поровну.

4. шаг. Задача стала простой: на обоих субботниках были все девочки и ровно половина мальчиков. Обозначим число девочек Зх, тогда мальчиков на субботниках было не больше 2х, а во всём классе — не больше 4х. Максимальное число мальчиков в классе 4х, а это равно 4/7 класса.

2. Задания, направлены на выполнение учащимися рефлексии своей деятельности. Например:

в какой форме удобнее всего представить способы и приемы, которые использовались, создавались, конструировались, изобретались в ходе деятельности; что следует учесть при следующей работе; ^ обобщите идею решения;

^ придумайте задачу, решение которой основывалось на найденном методе решения;

по

^ продолжи высказывание «полученные знания мне помогут для......

Приведем пример ООД третьего типа (рис. 8).

Задача. Пусть А(п) - наибольшее число частей, на которые плоскость делится п прямыми. Так А( 1 ) = 2, А(3) = 7. Найдите А(4), А(5), А(20).

Эвристическое предписание: «Обобщите задачу».

Обобщению в задаче могут подлежать: объекты задачи, свойства объектов задачи, значение величины (заменить конкретное число переменной), формула, правило, прием и т.д.