11Осле того, как выбран объект для обобщения, необходимо:

• разделить существенные и несущественные свойства;

• выяви ть общие существенные свойства;

• сформулировать обобщающее суждение;

• решить задачу в общем виде;

• найти ответ исходной задачи.

Задание 2. Приведите пример задачи, в которой был бы использован обратный метод решения

Рассмотрите частный (более простой) случай, а затем найдем решение задачи в общем виде.

Задача. Написать такой пример на деление, чтобы неполное частное было равно а и

Решение. Пусть а будет равно 37. Известно, что делитель больше остатка от деления, возьмем его равным. например. 38. Найдем делимое: 37-38 + 37 = 37(38 + 1) = 1443 _{0бобщив решени}е, ответим на вопрос задачи, a(b+\):b

(серым выделены ответы учеников)

Рис. 8 Пример ООД третьего типа Таким образом, применение ООД позволяет дифференцированно подходит к формированию мотивации учащихся к учебно-познавательной деятельности, в соответствии с уровнем ее сформированности. Индивидуально решать вопрос соотнесения содержания учебного материала и индивидуальных познавательных потребностей учащихся. Позволяет обучать учащихся приемам решения нестандартных задач

Для закрепления изученного метода решения учащимися следует предлагать задачи, последовательное изменение условия, которых позволяет учащимся распознавать логическую задачи: а) изменения в данных и сюжете задачи, не меняющие логику решения задачи; б) изменения, направленные на отыскание элементов, определяющих метод решения; в) формулирование

задачи с избыточным условием; г) формулирование задачи, в условии которой недостает данных.

Задача 7_а. Таня для подруг принесла конфеты. Если она каждой даст по три конфеты, то для себя останется две. Для того чтобы дать подругам по 4 конфеты у нее не хватает двух. Сколько Тане надо конфет, чтобы угостить каждую подругу пятью конфетами?

Задача 7_б. Ученики пятого класса решили устроить чаепитие. Если рассадить их так, чтобы за столом сидели по пять человек, то двоим, не найдется места. Если их рассадить по 6 человек за стол, то окажется, что за тремя столами сидит по пять человек. Сколько необходимо взять столов, чтобы за каждым сидело одинаковое количество учеников?

Задача 7_в. У Андрея дюжина коробок для игрушек. Положив в каждую коробку по два солдатика, у него останется 5, не вошедших ни в одну коробку. Положив солдатиков по три в каждую коробку, окажется пять коробок, в которых лежат по два солдатика. Сколько коробок необходимо, чтобы у каждого солдатика была своя коробка?

Задача 7_г. Если для учеников некоторого класса составить контрольную работу из 4 вариантов, то учеников писавших первый и второй вариант будет на 2 больше, чем писавших третий и четвертый. Если контрольная работа будет состоять из 5 вариантов, то учеников писавших 5 вариант будет на 1 меньше, чем писавших 1 вариант. Сколько учеников в классе?

Применение ООД в процессе решения нестандартных математических задач позволяет организовывать самостоятельную деятельность учащихся с учетом их познавательных потребностей. Обучать методам решения с уровня развития учебно-познавательных навыков.2.3. Формирование компонентов мотивации к учебно-познавательной деятельности средствами нестандартных математических задач

Перейдем к характеристике разработанного нами комплекса нестандартных математических задач, построенного в соответствии с вышеперечисленным требованиям и позволяющего осуществлять сопровождение процесса формирования каждого из компонентов мотивации к учебно-познавательной деятельности учащихся 5-6 классов, в соответствии с описанной структурно-функциональной моделью.

Процесс формирования продуктивного компонента мотивации учащихся к учебно-познавательной деятельности, в соответствии с описанной схемой (рис. 1), начинается с предъявления учащимся проблемной ситуации, описанной в нестандартной математической задаче. Проблемная ситуация, в самом общем случае, возникает при наличии противоречия между знанием и незнанием. Рассмотрим различные случаи возникновения проблемных ситуаций.

1. Для осмысления чего-либо или совершения каких-то необходимых действий учащемуся не хватает имеющихся у него знаний или известных способов действий.

Приведем примеры соответствующих задач.

Задача 8. Можно ли 13 листов бумаги разделить поровну между 10 учащимися, не деля ни одного листа на 10 частей?

Решение. И = = Каждому человеку можно отдать по — и —

10 10 10 2 5 ^ ^у 2 5

листа.

Проблемную ситуацию эта задача порождает для тех учащихся, которые незнакомы с правилом сокращения дробей. Эта ситуация приводит учеников к самостоятельному формулированию этого правила или к отысканию решения, напрямую не связанного с ним.

Задача 9. Верно ли, что число 9 + ОД • (9 + 0,1 • (9 + ОД • (...(9 + ОД)...)) меньше

Решение. Умножим 0,1 в последней скобке на 10. Значение числового выражения станет равным 10. То есть без добавочного увеличения исходное выражение было меньше 10.

Отметим, что у учащихся, как правило, отсутствует опыт упрощения выражений, содержащих неограниченное число операций, а значит, учащимся незнакомы приемы решения таких задач.

2. Обнаруживается несоответствие между имеющимися у учащихся знаниями и новыми требованиями.

Задача 10. Таня и Вова шли домой после уроков. Это был необыкновенный день, у них сегодня было первое настоящее знакомство со средней школой - первые уроки в 5 классе. Только Вову омрачал один факт:

— Совсем неправильно учат нас на уроках математики читать числа, - говорил Вова, - очень много лишних слов приходиться говорить, например, 1 миллион 212 тысяч 345. Намного проще сказать так, как произносят номер телефона в других странах: один, два, один, два, три, четыре, пять. И под диктовку очень удобно записывать.

Тане показалось, что Вова в чем-то не прав. Но что возразить ему, она не знала. Можно ли что-нибудь возразить Вове, и нужно ли?

Приведенная задача ставит ученика в ситуацию несоответствия между старыми знаниями и новыми фактами.

Задача 11. Постройте треугольник, у которого больше чем один прямой

угол.

Решение. Например, такой треугольник есть на мяче (рис. 9). Стоит отметить, что треугольником в школьном курсе математики называют плоскую фигуру, а то, что изображено на рисунке не является плоским. Поясним, что треугольник, у которого больше чем один прямой угол, изучают в разделах математики, не предусмотренных школьным курсом.

Рис. 9

Решение этой задачи выявляет несоответствие между математическими знаниями разного уровня (более низкого и более высокого).

Задача 12. На время рекламной акции стоимость товара уменьшили на 50%. На сколько процентов необходимо увеличить новую цену товара после акции, чтобы получить исходную?

Ответ к этой задаче многим учащимся кажется очевидным, - необходимо стоимость товара увеличить на столько же процентов, на сколько понизили, то есть стоимость товара необходимо увеличить на 50%, а правильный ответ всё же такой - на 100%.

Эта задача демонстрирует возможность наличия несогласованности знаний и представлений учащихся с научными данными.

Проблемные ситуации возникают при необходимости использования усвоенных знаний в новых условиях.

2

Задача 13. Найти значение произведения 35 и 37, зная, что 36"= 1296.

Решение. Для решения этой задачи можно воспользоваться понятием площади и ее свойствами. Построим прямоугольник со сторонами 37 и 35, выполнив построения так, как показано на рисунке 10.

^квадрата 1 ^_Пр_ЯМОу_Г._ка; 35*37 — 36 1—1296 1 — 1295.

37

Рис. 10

4. Проблемные ситуации возникают и тогда, когда необходимо использовать усвоенные знания в новых практических условиях.

Задача 14. Вы когда-нибудь задумывались, почему люки канализационных колодцев именно круглой формы, а, допустим, не квадратной?

Ответ. Причиной, по которой крышки люка делают круглой, может быть тот факт, что для крышки такой формы нет такого положения в пространстве, чтобы она могла провалиться в колодец, а для квадратной такое положение есть.

4. Проблемная ситуация возникает и тогда, когда имеется противоречие между теоретически возможным путем решения задачи и практической неосуществимостью избранного способа.

Задача 15. Простым или составным является число 2006²⁰⁰⁶?

Решение, конечно, не предполагает возведения числа в степень 2006, хотя теоретически, эта операция осуществима.

Ответ. Число составное, так как при возведении числа, заканчивающегося цифрой 6 в натуральную степень, получится число, последняя цифра в записи которого также будет 6, а значит 2006²⁰⁰⁶ четное.

4. Проблемная ситуация связана с тем, что имеется противоречие между практически достигнутым результатом выполнения учебного задания и отсутствием у учащихся знаний для его теоретического обоснования.

Задача 16. Фокусник задумал число. Прибавил к нему 4. Затем то, что получилось, увеличил в 2 раза. Отнял 6. Разделил на 2. Уменьшил на задуманное число. Какое число осталось в результате выполненных действий?

Ответить на вопрос задачи не представляет собой сложную процедуру, так как, подставив вместо числа, задуманного фокусником, любое другое число, всегда получается один и тот же ответ. Разобраться же в чем состоит секрет этого «фокуса» представляется довольно затруднительным. Учащимся для осмысления производимых операций, как показал эксперимент, целесообразно предложить заполнить таблицу (табл. 4)

.

Таблица 4 Действия	Иллюстрация	Упрощенная иллюстрация	Упрощенная запись
Задумали число.			X
Прибавили 4.	• • • •	« +4
Увеличили в 2 раза.	® • • • • • • • •		2-х + 8
Отняли 6.		« +2 «
Разделили на 2.
Уменьшили на задуманное число.

Следующим в формировании продуктивного компонента мотивации к учебно-познавательной деятельности, в соответствии с описанными стадиями, является актуализация эмоционального воздействия на учащихся для осознания ими когнитивной потребности.

У учащихся, чей уровень сформированности мотивации к учебно- познавательной деятельности находится на первом уровне — общепознавательный, чаще вызывают эмоциональный отклик задачи с необычной фабулой, содержащей яркие факты, занимательный сюжет, задействующий нетривиальных персонажей, или форму предъявления; к ним можно также отнести задачи, предполагающие работу с реальными (материальными) объектами. Задача 17.

Математик весельчак А потом он прошипел: «Шесть,

Перепутал чисел ряд. Шестнадцать, тридцать шесть».

И добавил он туда Веселей сказал: «Четыре, девять,

То, чему там быть нельзя. Двадцать, двадцать пять!»

Начал он, конечно, счет А тебе же надо взять