Вспомогательная таблица к задаче 9

С единицы. И не врет! Всё восстановить опять.

Ответ. В стихотворении идет речь о следующих числах: 1,6, 16, 36, 4, 9, 20, 25. Лишние числа 6 и 20. Остальные числа 1, 4, 9, 16, 25, 36 - квадраты натуральных чисел.

Задача 18. Каю необходимо сложить головоломку из кусочков картона. Все части, за исключением одной, расположились на своих местах. Последний кусочек подходит по размеру, но он окрашен с обратной стороны. Как должен поступить Кай для того, чтобы закончить сложение головоломки, использовав ошибочно окрашенную часть? (рис. 11)

л|д

Рис. 11

Ответ. На рисунке 12 пунктиром изображены линии разреза, сплошными изображены вспомогательные линии сгиба. После того, как треугольник разрезан, необходимо перевернуть каждую из трех получившихся частей на другую сторону.

Для учащихся с более высоким уровнем развития мотивации к учебно- познавательной деятельности эмоционально действенными являются задачи, которые можно условно назвать «задача - вызов». Мы выделяем три типа таких задач:

а) задачи, условия которых создают ложные представления о данных, как о недостаточных.

Задача 19. 10 авторучек стоят больше ! 1 рублей, а 9 авторучек стоят меньше 10 рублей. Хватит ли 15 рублей для того, чтобы купить 13 авторучек?

Ответ. 1 ручка стоит 1 рубль 11 копеек. Стоимость 13 ручек составит - 13-1,11 = 14,53 ; 15 рублей на покупку 13 авторучек хватит.

б) задачи, сюжеты которых основаны на реальном историческом факте или они связаны с историческими персонажами.

Задача 20. В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Требуется узнать число фазанов и число кроликов. (Эта задача была приведена в китайском математическом трактате "Арифметика в девяти главах" ("Киу-Чанг"), начало составления которого относится к II в. до нашей эры).

Ответ. 23 фазана, 12 кроликов.

в) задачи, имеющие предысторию, значимую только для данного класса, данной параллели классов или школы (задача, которую составил ученик школы; задача, которая предлагалась учащимся для решения не первый год и, решившие её, попадают в почетный список и т.д.).

Задача 21. Предыстория задачи, остановившей работу офиса на час. Ученик пятого класса после того, как самостоятельно решил задачу, предложил решить эту задачу родителям. Они решить эту задачу не смогли, тогда ученик показал им свое решение. Родители были удивлены тем, как просто решается задача. На следующий день мама показала эту задачу коллегам на работе, каково было её удивление, когда после часа раздумий ответ так и не был найден.

Вот эта задача. Хозяйка к приходу гостей приготовила рулет. Она твердо убеждена, что для того чтобы гости себя чувствовали долгожданными, ей необходимо разделить рулет до прихода гостей, причем так, чтобы всем за ужином досталось одинаковое количество рулета, но не более чем два кусочка. Как ей следует делить рулет, если за столом может оказаться три или четыре человека?

Ответ. Следует приложить к рулету линейку и разделить его на три части, затем также, не обращая внимания на сделанные разрезы, разделить рулет на четыре части.

На примере одной задачи покажем, как было реализовано в педагогическом эксперименте эмоциональное подкрепление деятельности учащихся с различными ведущими мотивами учебной деятельности и различными учебными способностями. Так же отметим, что эмоциональное подкрепление деятельности учащихся является необходимым условием для формирования ценностно-волевого компонента.

Для учащихся с высокими учебными способностями предлагалась задача, решение которой предполагает отыскание закономерности по увеличению толщины сложенного листа.

Задача 22. Возможен ли следующий факт: толщина обычного листа бумаги, сложенного в 40 раз пополам, превысила высоту башенного крана?

Ответ. Если толщину листа бумаги взять равной I = 0,0001 м, и сложить лист только 21 раз, то получится высота примерно в 105 метров (0,0001-2²¹), а башенный кран высотой лишь 50 — 90 метров.

Для учащихся с низкими учебными способностями можно предложить задачу, позволяющую осознать проблему, поднятую в задаче.

Задача 23. Можно ли сложить лист бумаги вдвое, повторив это хотя бы 9 раз? Можно ли лист из другого материала сложить более 12 раз?

Учащимся, для обеспечения положительных эмоций (интереса, удивления, восхищения и т.д.), сообщается следующий факт, имеющий непосредственное отношение к содержанию этих задач:

1. Мировой рекорд по складыванию листа бумаги пополам, зарегистрированный в январе 2001 г., состоит в 12 кратном сложении бумаги, он принадлежит американской школьнице Бритни Гэлливан.

2. Началом ее успеха можно считать скептическое отношение к словам педагога о том, что совершенно невозможно сложить хотя бы что- нибудь пополам 12 раз. После длительных экспериментов с различными материалами Бритни Гэлливан смогла сложить лист фольги 12 раз, доказав неправоту педагога.

3. Эта задача стала основой успешного математического исследования.

4. Если бы удалось сложить лист бумаги 39 раз и встать на него, то можно было бы тогда оказаться за Луной (среднее расстояние от Земли до Луны-384400 км., а 0,000001-2³⁹ « 550000км.).

Средства и методы, выбранные учителем для поддержания положительных эмоциональных реакций учащихся на этапе предъявления нестандартной математической задачи, непосредственно влияют на принятие учащимися цели решения задачи. Можно выделить следующие виды целей учения:

• познавательные:

У овладеть методами математического познания действительности;

• усвоить способы учебно-познавательной математической деятельности;

• выработать умения по решению задач;

• усвоить теоретический материал;

• научиться применять полученные знания в новой ситуации;

• получить новое знание;

• социальные:

• получить одобрение родителей, учителя, одноклассников и т.д.;

• достигнуть субъективно значимого успеха;

• поучаствовать в коллективной деятельности;

• избежать наказания.

Формирование у учащихся когнитивных целей, на примере задачи 21 (22, 23), может происходить за счет сообщения учащимся дополнительных сведений, они отмечены выше цифрами 3, 4. Информация, содержащаяся в пунктах 1,2, в большей степени способствует формированию у учащихся социальных целей решения задачи, так как указывает на значимость результата деятельности, его общественно признанную ценность.

В соответствии с поставленными целями учащиеся приступают к планированию своей деятельности {вторая стадия формирования мотива). Желательным является план действий, составленный учащимся, не предполагающий помощь со стороны педагога, одноклассников, родителей (при выполнении домашней работы). Действия учителя на этом этапе должны быть направлены на поддержание и формирование стремления учащихся к выполнению самостоятельной познавательной деятельности.

Приведем примеры задач, применение которых позволяет активизировать стремления учащихся к самостоятельной деятельности. Таким свойством обладают, прежде всего, задания, ответы на которые предполагают рассуждения, повествования, а творческая деятельность в проявленная в процессе решения делает его уникальным.

Задача 24.

Сказка

(по мотивам учебника математики)

В тридесятом царстве — математическом государстве жил да был рыжий Кот — Обормот. Он считал себя необыкновенно умным котом, самым эрудированным и воспитанным домашним питомцем, только потому, что он жил у одного выдающегося математика. Прогуливаясь по улицам, встречая знакомых, забегая в дом к соседу или рыбную лавку, кот задавал какой-нибудь невероятный вопрос:

• Не находили ли Вы, случайно, разность слагаемых?

• Извините, это не Вы обронили числовое выражение из кошелька?

• Не могли бы Вы мне помочь? Как найти частное от произведения уменьшаемого и суммы?

• Мой хозяин меня очень любит. Обязательно меня называет каким- нибудь ласковым буквенным выражением.

И однажды он встретил ...

Придумайте, чем может закончиться эта сказка.

Задача 25. Придумайте четверостишье, используя следующие рифмы (не обязательно все): выражение — скольжение, умножение - приложение, учение — умение, буква — клюква, частное — разное.

Активизируют учащихся к самостоятельной деятельности и задачи, имеющие множество решений. Приведем одну такую задачу из разработанного нами комплекса.

1-1 =	1
1111 =
111-111 =
1111-1111 =
11111-11111=
111111-111111 =
111111111-111111111=

Задача 26. Что удивительного в этом квадрате (рис. 13)? Можно ли составить похожий квадрат?

2,65	4,73	1,52
6,13	0,55	2,22
0,12	3,62	5,16

Рис. 13

Ответ. Сумма чисел в строках и столбцах равна 8,9. Похожих квадратов составить можно неограниченное количество.

Выделим в комплексе задачи соревновательного характера. Задача 27. Предложи своему другу соревнование: кто быстрее из вас заполнит таблицы (табл. 5, 6).

а) Таблица 5 б) Таблица 6

12345679-9= 111111111 12345679-18 = 12345679-27 = 12345679 -63 =

Ответ. Это задание первым выполнит тот, кто увидит закономерности в произведениях (табл. 7,8).

На этапе планирования своей деятельности учащийся опирается на результативность предыдущей деятельности, так проявляется когнитивный компонент. В связи с чем, мы сочли полезным приводить в комплексе задачи, схожие с успешно решенными ранее. Приведем пары задач, схожих по содержанию (задачи 28 и 29) и по способу решения (задачи 30 и 31).

Задача 28. Проверьте свою линейку, действительно ли она позволяет чертить прямые линии?

Задача 29. Специалисты говорят, что самое лучшее изображение у телевизоров (мониторов) с плоским кинескопом. Как же проверить такую характеристику телевизора?

Задача 30. Кусок мыла, лежащий в умывальнике, имеет форму параллелепипеда. Мыло расходуется равномерно. Через 7 дней размеры мыла уменьшились вдвое. На сколько дней хватит оставшегося мыла?

Ответ. Объем мыла после 7 дней использования составляет восьмую

часть от первоначального объема. Значит, за 7 дней было израсходовано 2

8

куска мыла. Мыла осталось на 1 день.

Задача 31. Как-то раз гуляла Одна Сотая по парку и увидела знакомую, которая каталась на лодке в пруду.

• Привет, Единица! - позвала знакомую Одна Сотая.

• Я совсем не Единица. Я, между прочим, значительно стройнее ее. Вот если взять меня, да еще столько, да еще полстолько, да еще четверть столько, да еще и тебя. Вот тогда бы я могла стать единицей!

Таблица 8 12345679-9 =		111111111
12345679-9-2 =		222222222
12345679-9-3 =		333333333
12345679-9-7 =		777777777
	123
а)	Таблица 7 б)
1-1 =	1
11-11 =	121
111-111 =	12321
1111-1111 =	1234321
11111-11111 =	123454321
111111-111111=	12345654321
111111111 -111111111 =	12345678987654321

Одна Сотая извинилась и пошла дальше, думая о том, с какой же дробью она перепутала единицу.

Ответ. 0,36. 0,36+0,36+0,18+0,09+0,01=1.

Для осознания учащимися результативности своей деятельности мы в педагогическом эксперименте предлагали им: последовательность задач, в которых результаты решения первых задач значительно упрощают решения последующих; задачи, условно назовем их «задачи с продолжением» - это задачи, результаты которых стимулируют познавательную деятельность, косвенно связанную с исходной задачей. Так, полученные в задаче 32 пятиугольники могут быть использованы для построения многогранника - правильного додекаэдра, составленного из двенадцати правильных пятиугольников (при условии, что все полоски будут одной ширины и будет одинаков метод построения пятиугольников).

Задача 32. Как сложить из полоски бумаги пятиугольник, у которого все стороны равны? Проверьте, будут ли равны углы этого пятиугольника (рис. 14).

Рис. 14

Ответ. На рисунке 15 изображен способ, которым можно сложить из полоски бумаги пятиугольник. Этот способ похож на завязывание узелка, только из полоски бумаги, а не шнурка. Углы у приведенного пятиугольника равны.

Рис. 15

На третьем этапе - принятия решений и формирования намерения достичь цель, учащийся оценивает заинтересованность остальных школьников в решении данной задачи. Как показал опыт, подкрепляющее воздействие на

формирование у учащихся намерения достичь цель, могут оказывать положительные оценочные высказывая, содержащиеся в условии задачи.

Задача 33. Замените буквы цифрами в примере на сложение. Разные буквы означают разные цифры.

С, л о ж и ⁺ Дроб и X о, р о ш о

Ответ. Задача решения не имеет. Рассмотрим сумму из примера о + о = о, возможно в том случае если о = 0 или о = 9. Заменить о на 9 нельзя, так как и + и ф 9 (нет такой цифры, которая бы при удвоении давала бы 9), значит о=0. Равенство л+р =р выполнимо, если добавить единицу из предыдущего разряда, а в этом примере это невозможно, так как в предыдущем разряде сумма нулей.

В процессе решения нестандартной математической задачи происходит развитие важных составляющих процесса формирования мотивации к учебно- познавательной деятельности: развитие познавательного интереса, основывающегося на «красивых» решениях (задача 26) и неожиданных результатах (например, задача 15); формирование когнитивных умений, владение которыми оценивается учащимися на этапах формирования цели и планирования деятельности.

Задача 34. Омск. Полночь. Идет снег. Можно ли верить прогнозу погоды, что через 2399977 часов будет солнечно?

Ответ. Через 2399977 и еще 23 часа пройдет 2400000 часов, то есть ровно 100000 суток, и снова окажется полночь. Убрав лишние 23 часа, которые прибавляли для удобства вычислений, окажется, что время час ночи, то есть погода солнечной быть не может.

Приведем примеры нестандартных математических задач из разработанного комплекса, которые могут послужить основой для формирования обобщенных приемов деятельности у учащихся 5-6 классов. Так, задачи, направленные на формирование когнитивной компетенции, — осуществлять анализ, предполагают обучение учащихся умению разбивать предложенный к изучению материал на части, решение — на этапы, объекты — на элементы, выявлять связь между ними.

Задача 35. Обратите внимание, как быстро можно перемножать числа, не прибегая к умножению столбиком: 22 -16 = 44-8 = 88-4 = 176-2 = 352. Получится ли у вас выполнить умножение таким способом в случае, если одно число нечетное, например, 12 и 15? Можно ли таким способом перемножить два нечетных числа, например, 13 и 17?

Ответ. Можно, 13-17 = 17+12-17 = 17+6-34 = 17+3-68 = 17+204 = 221.

Учащиеся в процессе решения нестандартных математических задач учатся выполнять сравнение: выявлять общие и различные, существенные и не существенные свойства объектов; находить различные основания для сравнения.

Задача 36. Подумайте! Решение, какой из следующих задач, более простое?

а) Найдите сумму всех трехзначных чисел, произведение цифр которых равно 5.

б) Найдите сумму всех трехзначных чисел, произведение цифр которых равно 4.

Ответ. Решение первой задачи более простое, так как чисел, произведение цифр которых равно 5, меньше, чем чисел, произведение цифр которых равно 4. Произведение 5 получается только при одном наборе цифр 5, 1,1. Произведение 4 получается следующими наборами цифр 4, 1, 1 и 2, 2, 1.

Поясним, что указание к выполнению сравнения в явном виде может не содержаться в тексте задачи, а быть этапом её решения.

Нестандартные задачи, зачастую, имеют яркую, эмоционально окрашенную формулировку, которая может отвлекать учащихся от основного действия, проблемной ситуации, содержащейся в задаче. В условиях правильно организованной работы эту особенность нестандартных математические задач можно использовать для развития таких качеств учащихся, как: сосредоточенность, собранность, организованность; а также для формирования умения выделять главное, отбрасывая второстепенные факты, выявлять суть проблемы.

Задача 37. Выигрыш, полученный на соревнованиях, тренер и спортсмены решили разделить так: если первое место займет опытный

2

спортсмен, то он получит — выигрыша, а остальное тренер; если первое место

3

1

займет неопытный спортсмен, то он получит — выигрыша, а оставшуюся часть

3

- тренер. Случилось так, что победителями были признаны два спортсмена: опытный и неопытный. Как следует разделить выигрыш?

Ответ. Не отвлекаясь на обсуждение вопросов справедливости и необходимости раздела выигрыша, поймем, что делить его следует, исходя из того, что тренер должен получить сумму в два раза меньшую, чем опытный спортсмен, и в два раза большую, чем неопытный. Потому выигрыш следует разделить на 7 частей, из них 4 части отдать опытному спортсмену, 2 части тренеру и 1 часть неопытному спортсмену.

Решение нестандартных математических задач в течение длительного времени приводит учащихся к необходимости систематизировать задачи и обобщать приемы их решения. На непосредственное формирование умений обобщать и систематизировать направлены некоторые нестандартные математические задачи: систематизирующие изучаемый материал (понятия, свойства, правила); задачи, решение которых предполагает рассмотрение объектов, объединенных по некоторому признаку; задачи, содержащие круг объектов, к которым применима некоторая закономерность.

Задача 38. Каждому из нас хорошо известна таблица умножения. Составь в помощь первоклассникам таблицу сложения. Можно ли по этой таблице объяснить, в чем состоят переместительное и сочетательное свойства сложения?

Эта задача позволяет учащимся обобщить и систематизировать ранее изученный материал, провести параллели между свойствами операции сложения и умножения.

Задачи на «конкретизацию» для учащихся 5-6 классов могут иметь следующее содержание: привести примеры абстрактных математических объектов и их свойства; найти способ конструирования объектов, иллюстрирующих некоторое понятие и его свойства; интерпретировать абстрактные математические модели и операции. Проиллюстрируем сказанное на примере.

Задача 39. Приведите примеры, подтверждающие или опровергающие следующие высказывания:

б) если каждое слагаемое делится на некоторое число, то сумма этих слагаемых не делится на это число;

в) если сумма нескольких слагаемых не делится на некоторое число, то каждое из этих слагаемых также не делится на это число;

г) если каждое слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма этих слагаемых не делится на это число.

Как видно из приведенного примера, посредством нестандартных математических задач учащиеся могут осваивать простейшие способы опровержения — приводить контрпримеры, а также приемы косвенного доказательства — делать выводы по аналогии или индукции.

Задача 40. Из треугольника получили многоугольник, отрезая у него углы. Сколько получится в новой фигуре углов, если не известно, сколько раз отрезали углы.

Ответ. Если у треугольника отрезать один угол, то получится фигура с четырьмя углами, если два, то с пятью, для удобства оформим результаты наблюдения в виде таблицы (табл. 9).

Таблица 9 Количество отрезанных углов	1	2	3	4	5	...	п
Количество углов в полученном многоугольнике	4	5	6	7	8	...	3+п

В процессе решения учащиеся приобретают навыки строить цепочки умозаключений, грамотно и логично излагать свою мысль (гипотезу, способ решения, наблюдение, вывод), убедительно высказывать свою точку зрения. Посредством нестандартных математических задач может быть организована исследовательская деятельность учащихся пятых, шестых классов (задача 33). Например, учащимся можно предложить выполнить такие исследования: провести опрос среди учеников с целью выявить закономерность представления о «цвете и цифре» (какого цвета каждая цифра); «цифре и качестве» (какими качествами обладает цифра: добрая, гордая, смелая); выявить значение дробных чисел за пределами урока математики (пронаблюдать: на сколько часто встречаются дроби в повседневной жизни).

Задача 41. Какие из домашних предметов имеют круглую форму? Подумай, почему их не сделали другой формы?

Ответ. Например, крышки для банок. Если бы они были другой, отличной от круглой, формы, то пришлось бы, перед закрытием банки, совмещать форму крышки с формой горловины банки. А также, нельзя было бы поворачивать крышку на банке.

Нестандартные математические задачи могут быть сформулированы таким образом, чтобы обеспечивать обучение учащихся организагщи и планированию своей деятельности, что способствует формирования ценностно-волевого компонента мотивации к учебно-познавательной деятельности.

Приведем примеры задач, направленных на усвоение приемов планирования деятельности:

1. Ставить цели на урок, день, неделю, четверть, учебный год (участие в олимпиаде).

Систематическое применение нестандартных математических задач в учебном процессе стимулирует целеполагание учащихся, так как позволяет им сравнивать свои результаты с результатами других учащихся, а также фиксировать свои успехи и оценивать их по следующим параметрам: освоение новых приемов решения задач; результативность попыток решения задач; количество времени, необходимое для того, чтобы разобраться с содержанием задачи и т.д. Также и сам текст задач может содержать цель деятельности, которая может быть принята учащимися. Приведем пример.

Задача 42. Изготовьте транспортир, не прибегая к использованию измерительных приборов, который можно использовать для построения углов на доске.

Решение. Покажем, как можно построить шкалу для транспортира. Возьмем половину бумажного круга (или половину круга изготовленного из фольги), сложим ее в четыре раза (пополам и еще раз пополам). Разворачиваем и получаем по линиям сгиба углы в 45°, 90°, 135°, подписываем их (рис. 16).

Рис. 16

Сложенный пополам листок, складываем в три раза, новые линии сгиба получатся с шагом в 30°. Таким способом не сложно получить транспортир, цена деления которого будет составлять 5°. Если все операции выполнять аккуратно, то молено изготовить достаточно точный транспортир (даже с ценой деления в 1°).

2. Составлять план деятельности.

Решение нестандартных математических задач (особенно этапы поиска плана решения и его осуществления) дисциплинирует учащихся, приучает к строгому, лаконичному изложению своих мыслей, поэтапности действий. Наиболее тщательное продумывание плана действий необходимо в случае коллективной работы над задачей, так как требуется распределение видов деятельности между участниками группы. Фиксирование плана действий возможно как в устной, так и письменной форме (в виде списка действий или структурно-логической схемы деятельности). Приведем пример задачи, направленной на обучение учащихся умению выявлять структуру взаимосвязи объектов.

Задача 43. Пять точек А, В, С, Д Е находятся на одной прямой. Определите, в каком порядке они расположены, если:

— С расположена между А и В;

—Е между BnD;

—D между Си А;

—С левее А и Е.

Ответ. Из четвертого и первого условия можно определить порядок для трех точек ВС А. Из третьего условия следует: BCD А. Точка Е лежит между В и D, правее С. Порядок таков BCEDA.

3. Поэтапное отслеживание хода выполнения построенного плана деятельности.

Процесс решения нестандартной математической задачи, особенно при условии использования определенного метода решения («с конца», «подсчет двумя способами» и т.д.), нуждается в осуществлении контроля над выполняемыми действиями на их соответствие плану (методу решения), условию задачи, требуемому результату. Это позволяет при необходимости вносить коррективы в план решения. Приведем пример задачи, при решении которой необходимо точно следовать указаниям условия задачи.

Задача 44. Купец вез домой драгоценные камни, путь его лежал через три леса. Для того, чтобы его в лесах не ограбили, он вынужден был нанимать охранников каждый раз, перед тем как заехать в лес. Охранники за свои услуги просили половину того, что было у купца и еще один камень. Домой купец привез только один камень. Сколько заплатил купец охранникам?

Решение. Задача решается с конца. Если купец привез домой 1 камень, то это значит, что перед тем как зайти в третий лес у него было 4 драгоценных камня, перед вторым 10, в начале пути 22. Охранникам он отдал 21 камень.

4. Контроль результативности деятельности.

Прежде всего, учащиеся должны осознавать момент окончания решения— получения результата (даже в том случае, если решение было коллективным). Учащиеся должны оценивать личный вклад в решение задачи, сопоставлять затраченное время и время плодотворной работы. Приведем пример задачи, составленной из нескольких заданий разной сложности, решая которые, учащийся может оценить степень самостоятельности: сколько заданий он выполнил самостоятельно, а сколько, прибегая к помощи педагога или одноклассников.

Задача 45. Запишите следующий член последовательности:

а) 1,8; 3,6; 5,4; 7,2...

б) 3,5; 4,61; 5,721; 6,8321...

в) 1,3; 2,5; 4,9; 9,7...

Ответ.

а) 9. Члены последовательности отличаются от предыдущих на 1,8;

б) 7,94321 (3,5+1,11=4,61; 4,61+1,111=5,721; 5,721+1,1111=6,8321; 6,8321+1,11111=7,94321);

в) 19,3 (1,3+1,2=2,5; 2,5+2,4=4,9; 4,9+4,8=9,7, 9,7+9,6=19,3).

4. В процессе решения нестандартных математических задач учащиеся могут осваивать приемы организации учебной деятельности:

Самостоятельно организовывать изучение материала (дополнительная литература, средства мультимедиа, задачи, предложенные учителем для индивидуальной работы): отыскание новых приемов решения нестандартных математических задач и подбор материала для составления новых задач. Приведем пример задачи, предложенной в эксперименте учащимся.

Задача 46. Используя функции у(х)=к(х+т) +п и х +у"=г и математические пакеты, постройте рисунок, присваивая различные значения постоянным к,т,п и г.

Ответ. Изображений может быть построено много «еж», «солнце», «глаз» (рис. 12) и т.д.

Формулировать основные приемы письменного оформления решения задач некоторого типа (таблица, схема, последовательность действий).

4. Самостоятельно повторять изученный материал: отвечать на вопросы, приводить примеры, готовить выступление с сообщением на уроке, составлять аналогичные задания и решать их и т.д.

5. Осваивать приемы запоминания способов решения: составить схему или алгоритм решения, припомнить задачи, решение которых основано на таком же принципе, сформулировать задачу, аналогичную данной.

6. Формулировать основные приемы контроля усвоения знаний: решать задачи, использующие особенно те приемы, которые показались наиболее трудными.

Основным механизмом присвоения когнитивных компетенций учащимся является осознание механизмов познания, способов «мыследеятельности», проявляющихся как результат рефлексии. Её основной целью является: вспомнить, выявить и осознать основные компоненты деятельности (смысл, типы, способы, проблемы, пути их решения, полученные результаты и т.п.). Рефлексия предполагает исследование уже осуществленной деятельности для фиксации ее результатов и повышения ее эффективности в дальнейшем.

Нестандартные математические задачи, направленные на организацию рефлексивной деятельности учащихся, разделены нами в комплексе на два вида: задачи на обнаружение ошибок и задачи на оценку процесса или результата решения задачи.

Ошибка, в предоставленном ученикам к рассмотрению решении, может заключаться: в вычислениях; неверном применении правил, свойств, опеределений; логике доказательства; построении. Приведем пример.

Задача 47. Найдите ошибку:

12:3+6= 4²— 6; 3-(4:1 + 2) = 10; 3-6 = 10; 18 = 10.

Традиционное оценивание решения задачи заключается в ответе на вопросы: верно ли решена задача? рационально ли решена задача? можно ли решение признать оригинальным?

Задача 48. Дайте оценку приведенному решению задачи.

Было — 20 руб.

Истратили на мяч — 10 руб.

Истратили на карандаш - 9 руб.

Осталось — ?

Решение:

20- 10-9=20- 1 = 19 (руб.)

Ответ: после покупок осталось 19 рублей.

Ответ. Задача решена неверно. На этапе вычисления неправильно определен порядок действий.

Необходимость в систематическом использовании нестандартных математических задач в учебном процессе сопряжена у учителей с рядом трудностей при осуществлении подбора задач. Учителя испытывают трудности с подбором литературы; ограниченные материальные ресурсы не позволяют учителям приобрести достаточно разнообразные книги, которые бы охватывали каждый пункт программного материала. Эту проблему можно частично решить, прибегнув к помощи Интернет ресурсов и материалов с олимпиад. Другим выходом, в сложившейся ситуации, является самостоятельное конструирование задач учителем. Приведем ряд рекомендаций по составлению нестандартных математических задач.

Один из возможных вариантов составления нестандартной математической задачи заключается в следующем: выбрать нестандартную математическую задачу, предназначенную для старших школьников, изучить принцип ее решения и составить аналогичную задачу для пятого, шестого класса на соответствующем программном материале.

Рассмотрим задачу, предназначенную для учащихся старших классов. Задача 49. Вычислить значение выражения

sin(—1 OP) • sin(-9°) • sint-8⁰)...- sin<p°) • sin£°) • sinfl 0°).

Значение этого выражения равно нулю, так как один из множителей

sin(0° ) равен нулю. По аналогии с принципом решения данной задачи можно составить задачу для учащихся пятого класса.

Задача 50. Вычислить значение выражения (99-1)-(98—2)-(97—3)-... Не следует опасаться использовать задачи из сборников, заведомо не соответствующих возрасту учащихся, они могут содержать доступные задачи. В основе следующей задачи лежит известный студентам, изучающим раздел высшей математики «Ряды», способ вычисления сумм, которым могут овладеть и учащиеся младших классов. Задача 51. Вычислить:

111 1

+ + ...+

1-2 2-3 3-4 9-10'

111 1111111 119

Ответ. + + +—+ = + + + ...+ = —.

1-2 2-3 3-4 9-10 1 2 2 3 3 4 9 10 10

При планировании сюжета будущей задачи необходимо обратить внимание на факт, доказанный психологами [94]: учащимся интереснее решать задачи на еще не совершенное действие; объекты в задачах, по возможности, должны быть близки учащимся.

Задача 52. Ученики пятого класса решили устроить чаепитие. Если рассадить их так, чтобы за столом сидели по пять человек, то двоим, не найдется места. Если их рассадить по 6 человек за стол, то окажется, что за тремя столами сидит по пять человек. Сколько необходимо взять столов, чтобы за каждым сидело одинаковое количество учеников?

Ответ. Рассадим учеников по пять человек за стол. Останется двое. Посадим этих двух учеников за два стола, где уже сидят пятеро. Останется три стола, за которыми сидят пятеро. Значит, в кабинете было пять столов, а учеников в классе 27. Для того, чтобы за каждым столом сидело одинаковое количество учащихся, столов должно быть 3, 9 или 27.

Форма постановки вопроса задачи также играет немаловажную роль. Среди всего множества задач крайне мало таких, которые бы ставили такие вопросы, как: существует ли возможно ли ..., как опровергнуть ... и др. Необходимо избегать в задачах безличных обращений: решить, выполнить, составить, преобразовать. Полезно составлять задачи, вводящие учащихся в проблемную ситуацию посредством следующих высказываний: пофантазируйте о..., предположите вы когда-нибудь задумывались

почему ..., следует ли....

■ (Е

л ■ ■ а

Рис. 18

Задача 53. Если бы ты умел ходить по стенам, и надо было бы оказаться с противоположной стороны дома, а твой дом имел форму куба, то какой путь был бы короче: по земле или по стенам? Каких размеров должен быть дом для того, чтобы эти пути были одинаковыми? (начало и конец пути указаны на рисунке 18 крестиками).

Ответ. Путь по земле короче на длину одной стороны. Для того, чтобы эти пути были одинаковы по длине, дом должен иметь форму параллелепипеда, длина которого в два раза больше высоты.

Приведем примеры, на которых можно рассмотреть процесс изменения характера задачи, видоизменяя ее вопрос.

Задача 54.1. Выразить в метрах и сантиметрах древнерусскую единицу измерения длины - вершок.

Задача 54.2. Выразить рост конька-горбунка, который составляет три вершка, в сантиметрах и метрах.

Задача 54.3. Как ты думаешь, смог бы ученик пятого класса самостоятельно взобраться на конька-горбунка, если предположить, что такая встреча возможна?

Источником вдохновения для составления нестандартных математических задач может стать обычная житейская наблюдательность. Многие объекты окружающего мира имеют ту или иную форму по вполне определенным причинам, объяснимым средствами математики (задачи 7, 33).

Задача 55. Постройте три различных треугольника таких, чтобы суммы их углов были одинаковы.

Учащиеся 7-х классов, конечно, знают, что сумма углов любого треугольника величина постоянная, но младшим школьникам еще предстоит найти способ это проиллюстрировать на примере трех треугольников.

Весьма увлекательные задачи получаются на пересечении предметных областей, они, как показал эксперимент, вызывают искренний интерес у учащихся. Также полезно в текст задачи включать положительные оценочные суждения, относящиеся к учащимся и учебному процессу.

Задача 56. Начертите координатный луч и отметьте на нем точки: Л(8), Е( 11), G( 17), Н{20), /(16), 0{5), Д(10), R (15), Т{22), U(6), 7(0).

Ответ: на числовом луче буквы располагаются в следующем порядке YOU ARE RIGHT (ты прав).

До определенной степени простым источником нестандартных математических задач можно назвать учебники и учебные пособия по математике из других стран. Использовать содержащийся в них материал иногда можно без адаптации и перевода. Многие задачи будут понятны ученикам, изучающим иностранный язык даже первый год.

Задача 57. John can read six pages in 24 minutes. How many pages can he read in 60 minute?

Перевод. Джон может прочитать 6 страниц за 24 минуты. Сколько страниц он прочтет за 60 минут?

Задача 58. Frank has a part-time job after school. He works 2 hours 15 minutes each afternoon for five days a week and then 6 hours 30 minutes on Saturday. How many hours does Frank work each week? [215]

Перевод. Фрэнк занят на работе только часть дня, после школы. Он работает 2 час 15 минут каждый день после обеда в течение рабочей недели и 6 часов 30 минут в субботу. Сколько часов работает Фрэнк в неделю?

Такие задачи позволяют познакомить учащихся с культурными и бытовыми особенностями жизни в этой стране, содержат любопытные факты. Также, благодаря таким задачам, учащимся предоставляется возможность изучить «другой математический язык». Так, несколько отличается изображение координатной плоскости координатными осями, которые обозначены стрелочками с двух концов, так же как и построенные на этой плоскости прямые (рис. 19) [216].

Рис. 19

Задача 59. В американском учебнике математики приведен такой пример:

12 8)96

8

16

16

О

Какая операция выполнена в этом примере? [215]

Ответ. Операция деления столбиком, частное записано в верхней строке.

Таким образом, мы привели характеристику комплекса нестандартных математических задач и принципы его построения, направленного на сопровождение процесса формирования мотивации к учебно-познавательной деятельности.140

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2

1. Использование принципов отбора и построения содержания комплекса нестандартных математических задач, охватывающего все основные темы курса математики 5-6 классов, позволило обеспечить единство предметного содержания и индивидуальных познавательных потребностей личности, организовать последовательное возрастание сложности задач, доли новизны и креативности, сделать предметное содержание более эстетически привлекательным, сохранить целостность учебного процесса.

2. Средствами нестандартных математических задач построенного комплекса осуществляется формирование каждого из компонентов мотивации учащихся к учебно-познавательной деятельности (продуктивного, когнитивного, ценностно-волевого).

3. Обучение учащихся поиску решения нестандартных математических задач строиться на основе свободного, осознанного выбора учащимися вида ориентировочной основы действия (алгоритмическое предписание, вопросно-ответная система, эвристическое предписание), содержание и структуру которой определены с учетом уровней формирования мотивации к учебно-познавательной деятельности (общепознавательной, познавательно-деятельностый, самообразования)

4. Методика обучения учащихся решению нестандартных задач строиться с учетом этапов решения нестандартной математической задачи и основывается на осуществлении учащимися самостоятельного выбора таких задач для решения, на выполнении действий по целеполаганию, поиску плана решения и осуществлении свободного, осознанного выбора ориентировочной основы действий.