2.2. Ориентировочная основа действий как средство обучения учащихся решению нестандартных математических задач

Формирование мотивации учебно-познавательной деятельности осуществляется при условии включения учащихся в деятельность по решению нестандартных математических задач. Обучение учащихся решению нестандартных математических задач представляет собой сложно решаемую методическую проблему, так как специфика этих задач не предполагает наличия общего способа их решения.

Значительный вклад в теорию обучения решению задач и обучению математике посредством задач внесли отечественные психологи, педагоги и методисты JI.JT. Гурова [43], В.А. Гусев [45], В.А. Далингер [49], О.Б. Епишева [59], Ю.М. Колягин [96], В.И. Крупич[105], В.А. Крутецкий [106], A.A. Столяр [179], JI.M. Фридман [190] и др. Общепризнанно, что крупнейшим специалистом в области обучения учащихся решению задач является Дж. Пойа. Его книги «Как решать задачу» [150], «Математика и правдоподобные рассуждения» [151], «Математические открытия» [152] возведены в ранг классических произведений. Приведем имена и других зарубежных авторов, чьи работы посвящены теории решения задач: Ж. Адамар [2], А. Пуанкаре [154], У. Сойер [175], Г. Штейнгауз [207].

Формирование мотивации к учебно-познавательной деятельности будет эффективным при условии, что деятельность учащихся по решению нестандартных математических задач будет самостоятельной и результативной. Для обеспечения результативности самостоятельной деятельности учащихся по решению нестандартных математических задач, необходимо вооружить их ориентировочной основой деятельности.

Ориентировочная основа деятельности (ООД) система представлений человека о цели, плане и средствах осуществления предстоящей или выполняемой деятельности. ООД представляет собой совокупность следующих компонентов:

• образец конечного продукта действия (то, что нужно получить);

• предмет действия (то, из чего нужно получить продукт);

• орудия действия (то, что может изменять предмет действия);

• операции действия (то, что нужно делать для изменения предмета).

Структура ООД, в соответствии с задачами нашего исследования,

должна совпадать с этапами решения нестандартной математической задачи. Большая часть исследователей, к ним относятся Дж. Пойа [150], Ю.М. Колягин [96] и др., выделяют в процессе решения задачи четыре этапа, которых мы и будем придерживаться в дальнейшем. Содержание этапов, выделенных разными авторами, в целом очень схожи, поэтому мы приведем их в обобщенном виде. А также опишем методические особенности их организации.

1. Осознание условий и требований задачи.

На этом этапе происходит усвоение и проработка отдельных элементов условия, припоминание необходимых знаний, сопоставление условия задачи с актуализированными знаниями и опытом.

Для обеспечения успешного прохождения учащимися этого этапа, необходимо обучить их умениям работать с условием задачи, которые могут быть сведены к следующему:

переформулировать условие: отбросить несущественную, излишнюю информацию; упростить конструкции предложений (разбить сложные предложения на несколько простых); изменить сложные для восприятия обороты; заменить незнакомые термины соответствующими описаниями

;

• переструктурировать условие задачи: описать сюжет задачи последовательностью действий (операций) удобной для понимания;

• интерпретировать условие задачи в графическом виде (рисунок, чертеж, схема, граф, таблица и необходимые к ним дополнения).

Задача 1. На рисунке 15 изображен план школьного участка (все углы прямые, размеры указаны в метрах), который необходимо засадить елями, причем для посадки каждой ели требуется не меньше пяти квадратных метров. Можно ли на этом участке посадить 60 деревьев? (рис. 4)

5,75

2.5

2.5

12,05

4,6

10,68

5.7

4.2 7.7

9.9 3.9

11,9

Рис. 4

Для решения этой задачи необходимо узнать площадь всего участка, что не составит труда, если будут проведены дополнительные построения на рисунке.

Решение. Достроим многоугольник до прямоугольника (рис. 5). Его площадь равна 486,2 м². Вычислим площадь участка, для чего от площади построенного прямоугольника отнимем площадь полученных пяти прямоугольников:

486,2—2,5-2,5—3-12,05-(10,68+3)-5,7-4,2-(7,7+3,9)-9,9-3,9 = 27^494л1^ На участке можно посадить не более 55 елей.

2.5	2.5			3
4,6				12.05
4,2							10,68
		7,7						5.7
				9.9
		3.9				5,02 11 9

18,7

26

5,02

Рис.

5

Важно, что все выполняемые действия по преобразованию условия, должны быть корректны, не должны искажать суть задачи.

После того, как учащимся стал понятен сюжет (последовательность действий) задачи, они должны выделить данные и искомые. Данные необходимо проверить на непротиворечивость и очевидную недостаточность.

Для нестандартных математических задач на доказательство или опровержение некоторого обобщающего утверждения, важно провести «испытание на правдоподобие». Прежде, чем преступить к доказательству, М.Б. Балк, Г.Д. Балк [12] рекомендуют проверить, не приводит ли это утверждение к явно ошибочным или сомнительным выводам и нельзя ли его опровергнуть. Для этого надо учащимся постараться подобрать контрпримеры или выполнить «проверку размерностей».

Приведем вспомогательную задачу для формирования у учащихся навыков аккуратной работы с размерностями величин.

Задача 2. Найдите ошибку в следующих рассуждениях: 1,5ч • 0,5ч = 0,75ч = 45лшн .

1,5ч • 0,5ч = 90мин • 30мин = 210мин

Работа с условием задачи предполагает обращение к прошлому опыту, с целью припоминания аналогичных, ранее решенных задач, на которые можно опираться при решении данной задачи.

Для некоторых задач уместно перевести их элементы на язык, который будет предположительно использоваться в решении задачи, например, ввести переменную, выразить данные через неё, для того, чтобы решить задачу методом составления уравнения.

2. Поиск решения задачи.

На этом этапе происходит установление зависимости между данными и искомыми. В.И. Крупич [105] выделил следующие виды поиска решения задачи:

— «полный перебор вариантов решения»;

• «случайный поиск», направление поиска решения определяется по случайному критерию, интуитивно;

• «слепой поиск», следующий шаг решения осуществляется на основе результатов предыдущего;

• «эвристический (упорядоченный) поиск», осуществляется на основе обработанных некоторым образом данных задачи, отбрасыванием явно неперспективных направлений поиска.

«Нередко поиск решения пронизывает весь процесс решения задачи и содержит несколько циклов вида: анализ ситуации — возникновение плана решения — попытка реализации плана — констатация неудачи» [92, с. 83]. В.И. Крупич подчеркивает, что поиск решения является базисом процесса решения задачи, и, более того, «процесс решения задачи можно считать с достаточной степенью достоверности адекватным поиску её решения» [105, с. 85].

Заканчивается второй этап фиксированием определенного плана решения, подвергнутого корректировке на основе предварительной прикидки, сопоставления с условием задачи.

3. Осуществление плана решения. Его оформление и запись результата.

Специфика нестандартных математических задач такова, что само оформление хода решения может вызывать сложности у учащихся из-за нестереотипности способа решения, возможного наличия вспомогательных графических средств представления данных, сложных для описания в символьном виде.

Приведем пример оформления решения задачи, использованный нами в педагогическом эксперименте, позволяющий учащимся избежать громоздких описательных конструкций.

Задача 3. В некоторой десятичной дроби перенесли запятую на один знак влево, и она уменьшилась на 38,88. Найдите исходную дробь.

Решение. Целая часть исходной дроби может быть только двузначной, в противном случае разность бы получилась больше 89.

-ab,с -ab,2 0 -а 3,2 -4 3,2

а,Ь с а,Ь 2 а,3 2 4,3 2.

38,8 8 38,8 8 38,8 8 38,8 8

Ответ. 43,2.

Оформление решения должно гарантировать фиксацию рассуждений в краткой, ясной, и достаточной для полного воспроизведения решения форме.

Как показал эксперимент, на данном этапе решения задачи учащиеся должны осуществлять проверку выполнимых действий и операций, промежуточных результатов, на предмет недопущения вычислительных, логических ошибок и соответствия условию задачи, и в случае необходимости проводить коррекцию.

4. «Взгляд назад» — изучение найденного решения: анализ ответа; поиск путей рационализации решения; исследование общих и частных случаев; выявление существенного в решении, потенциально полезного для решения других задач; включение нового в систему знаний.

Этот этап решения задачи подразумевает проверку правильности полученного результата и анализ деятельности по его достижению. Проверить результат необходимо на соответствие здравому смыслу и условиям задачи, затем выполнить прикидку и полноценную проверку.

«Образовательным результатом обучения, — поясняет A.B. Хуторской, - является только тот, который осознан учеником. Если же ученик не понимает, что он делает и чему научился, не может вразумительно сформулировать способы своей деятельности, возникающие проблемы, пути их решения и полученные результаты, то его образовательный результат находится в скрытом, неявном виде, что не позволяет использовать его в целях дальнейшего образования» [196, с. 333].

Соглашаясь с мнением A.B. Хуторского о методах присвоения учащимися способов действий, а также принимая в расчет, что в рамках компетентностного подхода результатом учебной деятельности является изменение самого учащегося, посредством овладения обобщёнными способами действий, можно заключить, что организация рефлексивной деятельности является обязательным компонентом учебного процесса.

«Рефлексия в обучении - мыслительный или чувственно переживаемый процесс осознания субъектом образования своей деятельности» [94, с. 112].

Рефлексия в учебно-познавательном процессе выполняет следующие функции [114]:

• совершенствование видов деятельности, которые могут быть представлены под контролем сознания;

• саморазвитие, личностный рост;

• осмысление и переосмысление стереотипов мышления и их эвристическое преодолевание, вплоть до образования новых креативно- инновационных содержаний сознания;

• организация обратной связи;

• организация коммуникативной и совместно распределенной деятельности.

Учащиеся в педагогическом эксперименте осознавали цель рефлексии, которая состояла в следующем: вспомнить, выявить и осознать основные компоненты деятельности — ее смысл, типы, способы, проблемы, пути их решения, полученные результаты; то есть учащемуся необходимо было ответить на вопросы: каковы мои главные результаты, что я понял, чему научился? Какие задания вызвали наибольший интерес и почему? Как я выполнял задание, какими способами? Что я чувствовал при этом? Каковы были основные трудности, и как я их преодолевал?

Процесс организации рефлексии ученика на уроке включает в себя следующие этапы:

1. Восстановление последовательности выполненных действий. Устно или письменно описывается все, что сделано, в том числе и то, что на первый взгляд ученику не кажется важным.

Эксперимент показал, что совершенно необходимо организовывать деятельность учеников по обмену опытом того, как пришла идея решения той или иной задачи, какая последовательность рассуждений привела к догадке. Еще Дж. Пойа [151] говорил о том, что учиться следует подражанием: перенимать манеру мыслетворчества; заимствовать приемы рассуждений. Учителю иногда следует предлагать учащимся задачи, решение которых заранее неизвестно и ему самому, но предположительно интересные и посильные для выполнения учеником. Предчувствие оригинальных приемов решения, обмен предположениями о ходе решения между учителем и учениками, совместное творчество, а не «подталкивание» учителем мыслей учащихся в нужном направлении, делает обучение более результативным, процесс решения более эмоциональным.

2. Изучение составленной последовательности действий с точки зрения ее эффективности, продуктивности, соответствия поставленным задачам и т.д. Параметры для анализа решения задачи выбираются из предложенных учителем или определяются учеником на основе своих целей.

Если работа над нестандартной математической задачей предполагает выступление учащегося со своим решением, то необходимо оценить ответ данный учащимся. Для этого, заблаговременно, совместно с учащимися, вырабатываются критерии оценивания, которые должны быть учтены отвечающим при подготовке к ответу и при последующей самооценки. Объединим характеристики ответа по четырем направлениям:

• степень свободы владения материалом: грамотное использование терминологии, логическая стройность изложения, наличие альтернативного ответа;

• соотношение ответа и вопроса задачи: соответствие ответа требованиям задачи, корректность ответа;

• содержание ответа: емкость, точность, лаконичность, полнота, креативность;

• эстетичность преподнесения ответа: оформление материала, уверенная и грамотная речь отвечающего.

  3. Выявление и формулирование результатов рефлексии.

Таких результатов можно выделить несколько видов:

• математическая «продукция» деятельности — идеи, предположения, закономерности, ответы на вопросы;

• способы и приемы, которые использовались, создавались, конструировались, изобретались в ходе деятельности;

• предположения по отношению к будущей деятельности, например: полученные знания мне помогут для..., смогу лучше выполнять..., буду быстрее справляться с ... и т.д.

4. Проверка предположения на практике в последующей учебной математической деятельности.

В соответствии с выделенными в первой главе уровнями сформированности мотивации учащихся к учебно-познавательной деятельности (побуждающей к деятельности трех видов репродуктивной, продуктивной и творческой) выявлена необходимость в конструировании ООД трех типов для организации индивидуальной работы учащихся по решению нестандартных математических задач, по овладению методом решения. Содержание ООД различных типов отличает степень самостоятельности, которую необходимо проявить учащимся для решения нестандартной математической задачи. В структуре ООД учтены стадии формирования познавательного мотива. Дидактические материалы, содержащие ООД по решению нестандартных математических задач, в ходе эксперимента предлагались учащимся в виде индивидуальных карточек.

Дидактические материалы первого типа соответствуют общепознавательному уровню сформированности мотивации к учебно- познавательной деятельности, служат для организации алгоритмического вида деятельности и содержат следующие компоненты.

1. Вопросы или задания (не более двух), направленные на принятие учащимися познавательной потребности, например:

знакома ли тебе задача, умеешь ли ты решать такие задачи; ^ что заинтересовало тебя в задаче, что в ней необычного; ^ содержит ли условие задачи новые для тебя факты; ^ интересно ли тебе знать, каков ответ задачи; ^ интересно ли тебе найти ответ задачи самостоятельно; ^ был бы ты доволен собой, если бы решил задачу самостоятельно и др?

2. Сформулированные цели деятельности:

^ выполнив следующие задания ты будешь знать, что...; ^ выполнив следующие задания ты овладеешь новым методом решения;

^ выполнив следующие задания ты сможешь сформулировать новое правило (определение), которое будет использовано в дальнейшем;

^ выполнив следующие задания ты определишь взаимосвязь нового и давно известного и др.

3. Алгоритмическое предписание (последовательность действий, приводящих к решению задачи).

Под алгоритмом в методике обучения принято понимать точное, общепонятное описание определённой последовательности интеллектуальных операций, необходимых и достаточных для решения задачи..

Алгоритмическая деятельность может быть описана разными способами: в виде программы обычного пошагового алгоритма, в виде формулы, правила, с помощью инструкции к таблице, предъявление неполного (частичного) решения, требующее дополнения и т. д.

В исследовании были использованы два вида предписаний: пошаговое руководство действиями и, в том случае если у задачи сложное решение, которое учащиеся не смогли бы выполнить даже по приведенному алгоритму, им предоставлялась наиболее сложная часть решения.

4. Вопросы на оценку результата решения задачи:

^ соответствует ли полученный ответ условиям задачи; ^ как изменится ответ задачи, если изменить в условии задачи...;

удивил ли полученный ответ задачи; ^ легко ли было справиться с решением задачи; ^ испытываешь чувство радости после выполнения задания?

Приведем пример ООД первого типа (рис. 6).

Дидактические материалы второго типа соответствуют уровню познавательно-деятельностной мотивации к учебно-познавательной деятельности, служат основой для организации продуктивного вида деятельности учащихся и содержат:

1. Вопросы, ответы на которые позволяют учащимся сформулировать цели деятельности:

^ Позволит ли решение этой задачи усвоить теоретический материал?

^ Решение этой задачи будет способствовать развитию умения

решать задачи? ^ Что привлекает тебя в этой задаче?

2. Задания на актуализацию знаний, необходимых для решения задачи.

3. Вопросно-ответную систему, позволяющую учащемуся отыскать решение задачи.

Под вопросно-ответной системой мы понимаем последовательность вопросов, направленных на раскрытие когнитивного противоречия, и ответов к ним, снимающих это противоречие (депроблематезация).

Задача. Пусть А(п) - наибольшее число частей, на которые плоскость делится п прямыми. Так А( 1 ) = 2, А(3) = 7. Найдите А(4), А(5), А(20).

Задание 1. Придумайте ситуацию, в которой могли бы пригодиться знания полученные в ходе решения этой задачи. (место для ответа)

Задание 2. Новое в задаче это запись «А(п)», она описывает закон, правило по которому прямые разбиваю плоскость на наибольшее количество частей. Можно составить например такое правило В(п) - остаток от деления числа п на 3, тогда В(5)-2, В(6)=0. Приведите пример других правил.

Задание 3. Выполните следующие действия для того что бы решит задачу и познакомиться с новым методом решения «Обобщение задачи»