2.1. Требования к отбору содержания комплекса нестандартных математических задач

В первой главе диссертации нами были выделены направления деятельности учителя по формированию мотивации учащихся к учебно- познавательной деятельности и обоснована теоретическая возможность использования нестандартных задач в качестве средства такого формирования. Опираясь на исследования психологов [134], указывающих на то, что у учащихся пятых, шестых классов активно формируется абстрактное и теоретическое мышление, развивается умение строить сложные умозаключения, выдвигать гипотезы и проверять их, мы заключаем (и это подтвердил педагогический эксперимент), что нестандартные математические задачи являются эффективным средством формирования мотивации к учебно- познавательной деятельности в указанном возрастном периоде. В связи с этим сочли необходимым составить комплекс нестандартных задач по математике, направленный на обеспечение процесса формирования мотивации учащихся 5 - 6 классов к учебно-познавательной деятельности.

Комплекс нестандартных математических задач, направленный на формирование мотивации учащихся 5-6 классов к учебно-познавательной деятельности, строится на основе следующих принципов:

1. Принцип единства предл1етного содержания и индивидуальных познавательных потребностей личности. В комплекс должны входить задачи, решение которых предполагает проведение сложных логических рассуждений, значительных арифметических вычислений, а также задачи, поиск плана решения которых требует от учащихся находчивости, сообразительности, нестереотипности мышления, для удовлетворения потребности учащихся в

развитии памяти, мышления, воображения, в рефлексии и самооценке.

«Центральное личностное образование этого периода — становление нового уровня самосознания, «Я» — концепции, выражающееся в стремлении понять себя, свои возможности и особенности, свое сходство с другими людьми и свое отличие - уникальность и неповторимость» [185, с.286]. Такая субъективная исключительность, стремление чем-то выделиться, усиливает мотивацию к учебно-познавательной деятельности, если соотносится с самим содержанием учебной деятельности, ее предметом, средствами, способами решения учебных задач. «Стремление к «исключительности» входит в мотивацию достижения, проявляется в таких ее составляющих, как «награда», «успех». Учебная мотивация, как единство познавательной мотивации и мотивации достижения, преломляются у подростков через призму узколичных, значимых и реально действующих мотивов группового, социального бытия» [65, с. 178]. Подросток смотрит на себя со стороны, соотносит себя с другими — взрослыми и сверстниками, ищет критерии для этого сравнения.

Учащиеся испытывает особую потребность в дружественных отношениях со сверстниками, при этом подросток находится в поисках собственного (индивидуального) места в социальных отношениях. Как показывают исследования Л.И. Божович [19] мотивов учебной деятельности школьников средних классов, главным, ведущим мотивом поведения и деятельности учащихся в школе является их стремление найти свое место среди товарищей в классном коллективе [19]. Младшему подростку импонирует коллективный способ деятельности, они любят общественную работу. «Она создает содержательную основу для общения подростков, позволяет проявить инициативу, активность самостоятельность. В любом мероприятии они предпочитают быть деятелями, а не созерцателями» [27, с. 126]. Исходя из этого, необходимо подбирать задачи, позволяющие использовать различные формы работы, которые бы удовлетворяли потребность ребенка в коллективном творчестве.

2. Принцип эстетической привлекательности. Текст нестандартной математической задачи, эталонное решение, предлагаемое учителем, ответ, дидактические материалы, содержащие ориентировочную основу действий, предназначенные для учащихся 5-6 классов должны быть иллюстрируемы различными средствами наглядности.

По мнению В. Г. Болтянского [21], эстетика математического объекта может быть выражена посредством изоморфизма между объектом и его наглядной моделью, простотой модели и неожиданностью ее появления: красота = наглядность + неожиданность = изоморфизм + простота + неожиданность, где изоморфизм это правильные, неискаженные отражения основных свойств явления в его наглядном представлении. Мера красоты тем выше, чем меньше мера сложности объекта или чем проще его наглядная модель.

Наиболее четкая характеристика эстетической привлекательности математического объекта была дана Г. Биркгофом [18]: М=0/С, где М — мера красоты, О — мера порядка, а С - мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта. Из формулы видно, что в случае затраты минимальных усилий (в том случае, когда восприятие объекта укладывается в представление об этом объекте), мера красоты возрастает прямо пропорционально росту меры порядка. Отсюда следует, что для ученика эстетически привлекательными математическими объектами будут те, восприятие которых сопряжено с наименьшими усилиями с его стороны. Это объясняет, например, привлекательность свойства симметричности в математике (различные числовые структуры, симметричные фигуры, фрактальная геометрия), так как они знакомы учащимся по объектам природы (бабочкам, птицам, животным, снежинкам), в окружающей действительности (архитектуре, узорах).

Наиболее привлекательным для школьника являются объекты, восприятие которых соответствует сформировавшемуся у них представлению. Этот вывод подтверждается многими исследованиями. Известно, например, что учащиеся из предложенной им совокупности геометрических задач выбирают те, в условии которых используются фигуры, наиболее распространенные в школьном курсе геометрии. Несоответствие рассматриваемого объекта (задачи, определения, правила, геометрической фигуры) в целом или его элементов имеющемуся представлению, побуждает к действию направленному на исправление «несовершенства», на «гармоничное дополнение структуры математического знания. Познавательный интерес проявляется в ситуации, когда воспринимаемый стимул похож на его стандартную модель, но не укладывается в нее полностью. Абсолютно новый стимул не вызывает интереса, поскольку он не представлен в психике, нет его стереотипного образа в сознании» [164].

Наглядно-образная основа задачи отражает существенные свойства рассматриваемых объектов, логическую взаимосвязь описываемых объектов, упорядоченность, проявляющуюся в сочетании аналитических и геометрических факторов и т.д. Логическая организация наглядных представлений способствует развитию привлекательности учебного материала, формированию мотивации к учебно-познавательной деятельности. К различным средствам наглядности можно отнести рисунки, схемы, модели, таблицы, диаграммы и т.д. Их отличает компактность и информативность, что обеспечивает «узнавание» объекта. Средства наглядности выполняют двойную функцию: с одной стороны, они способствуют созданию эстетического фона обучения математике, с другой, наглядно отображая обнаруженные взаимосвязи, результаты обобщений, логику процесса познания, служат раскрытию внутренней эстетики математики.

Таким образом, эстетическая привлекательность материала помогает организовать математическую учебно-познавательную деятельность учащихся, в которой они принимают активное участие, проявляя свою творческую индивидуальность, и наоборот, математическое познание, ориентированное на эстетическое воспитание учащихся, является для них самым продуктивным и интересным-[164].

3. Принцип последовательного возрастания сложности задач, доли новизны и креативности. Предлагаемые учащимся задания должны качественно отличаться от предыдущих как по фабуле, так и по методу решения, стимулируя высокую познавательную активность.

В комплексе должны быть представлены задачи, различного уровня сложности.

Наличие в комплексе несложных задач позволяет:

• снижать уровень тревожности, дискомфорта у учащихся в условиях предъявления им нестандартных математических задач (ситуаций);

• выводить учащихся из состояния «выученной беспомощности», когда учащиеся не предпринимают попыток справиться с задачами, даже с теми, которые поддаются решению;

• позволяют не допускать выработки у учащихся стереотипа: «незнакомое — это сложное, неподдающееся решению»;

• позволяют привлекать к решению задач учащихся с низкими учебными способностями, при этом опыт успешного выполнения учащимися посильных заданий становится основой для повышения у школьников уровня притязаний и предпринятия попыток по решению более сложных задач;

• позволяют избегать чрезмерной учебной перегруженности.

Включение в комплекс нестандартных математических задач высокого

уровня сложности позволяет обеспечивать интеллектуальное и творческое развитие учащихся, воспитывать у учащихся ценностно-волевые качества (настойчивость, упорство, целеустремленность), приобретать и совершенствовать навыки учебно-познавательной деятельности.

Выполнение всех пунктов данного требования одновременно представляется довольно затруднительной задачей, но, тем не менее, предлагаемые учащимся задания должны качественно отличаться от предыдущих, стимулируя высокую познавательную активность. Реализация требований проблемности и новизны несколько ограничена количеством способов решения задач, которые освоили учащиеся, но тем не менее остается возможность предлагать учащимся задачи, решение которых основано на комбинации ранее известных приемов. Считаем важным отметить, что в процессе обучения полезно для усвоения приема решения задачи предлагать учащимся задачи различные по ситуации, но предполагающие одинаковые способы решения.

4. Принцип целостности.

Нестандартные математические задачи должны целенаправленно включаться в учебный процесс. Они должны быть средством для актуализации знаний, введения новых понятий, закрепления изученного материала и обеспечения необходимой пропедевтики. Нестандартные математические задачи комплекса должны быть основаны на программном материале (иметь непосредственное отношение к изучаемому в данный момент времени учебному материалу): раскрывать специфику понятий и связи между ними; становиться основой открытия новых знаний, систематизации и углубления изучаемого материала; выявлять общекультурное, бытовое или междисциплинарное значение математических объектов; способствовать осознанию практической и теоретической значимости материала.

Выполнение данного требования позволяет рационально использовать время урока, так как предложенные учащимся для решения нестандартные математические задачи не наносят «ущерб» времени, отведенному на изучение основного материала, они являются его частью. В таком случае, возникает возможность применять нестандартные математические задачи систематически, практически на каждом уроке, тем самым уравнивать образовательные возможности учащихся, посещающих и непосещшощих дополнительные учебные занятия (факультативные курсы, кружки, индивидуальные занятия).

Опросы учителей показали, что основными причинами, по которым учителя отказываются от применения нестандартных математических задач в учебном процессе, являются:

• отсутствие сборников задач, составленных таким образом, чтобы можно было бы подобрать задачу по заранее выбранным критериям;

• большую часть нестандартных задач, предназначенных для учащихся пятых и шестых классов, составляют задачи, носящие занимательный характер, основанные на материале, не относящемся к программному (задачи на спичках, на переливание и другие);

• количество нестандартных математических задач, основанных на программном материале, распределяется неравномерно между классами. Наибольшее число задач приходится на старшие классы. Это связано с объективной причиной - учащиеся старших классов владеют большим объёмом учебного материала и различными приемами решения задач, чем учащиеся 5-6 классов.

Согласно указанному требованию, в Приложении 4 приведен комплекс нестандартных математических задач, сгруппированных в соответствии с основными темами программного материала пятых, шестых классов.

Так же считаем необходимым отдельно остановиться на требованиях, предъявленных к нестандартным математическим задачам, включенных в комплекс.

Осуществляя отбор задач, мы опирались на требования, сформулированные О.К.Тихомировым [182] к «искусственно» составленным задачам, каковыми и являются нестандартные:

• в условии задачи не должны присутствовать прямые указания на использование известных теорем, формул, правил, замысел решения задачи должен быть скрыт от учащихся, что достигается за счет введения парадоксального первого хода, создающего видимость отхода от решения, или создания в задаче «ложного следа» — очевидного действия, не приводящего к решению;

• в основе задачи должна лежать проблемная ситуация;

• решение должно быть динамичным;

• замысел задачи должен быть оригинальным;

• задача должна удовлетворять эстетическим требованиям;

• задача должна вызывать эмоциональный отклик у учащихся;

• задачи должны обеспечивать организацию полноценной учебно- познавательной (в том числе и рефлексивной) деятельности учащихся.