3. Принцип суперпозиции электрических полей

Известна сила  , с которой взаимодействуют два точечных зарядаQ₁иq(рис. 1.8.).Опыт свидетельствуето том, что эта сила не изменится, если рядом появятся другие точечные зарядыQ₂…Q_i…Q_N (рис. 1.9.)

Рис. 1.8.

Рис. 1.9.

Результирующая сила, действующая на заряд q,будет равна в этом случае векторной сумме отдельных сил

(1.4)

Разделив (1.4) на величину заряда q, мы придём к важному выводу:

Если поле в некоторой точке пространства создаётся отдельными точечными зарядами, то напряжённость результирующего поля  равна векторной сумме напряженностей складываемых полей

(1.5)

Это правило получило название принципа суперпозиции электрических полей. Подчеркнем ещё раз, что справедливость этого принципа подтверждена экспериментально.

Принцип суперпозиции позволяет вычислить поля, созданные различными комбинациями зарядов.

Установим связь между потенциалом и напряженностью электроста­тического поля в каждой точке поля.

Рассмотрим в однородном электрическом поле две точки 1 и 2 (рис.13) и предполо­жим, что заряд (+1) переходит из 1 в 2 вдоль прямолинейного отрезка Dl. Работу электрических сил DА при перемещении можно выразить, во-первых, через напряжённость поля: DА = Е_l Dl.

С другой стороны - через разность потенциалов DU₁₂.

DА=DU₁₂

`  Е

Е _l

2

D`l Рис. 13.

Введем теперь приращение потенциала при перемещении `Dl, т.е. раз­ность потенциалов DU₂₁ точки 2 (конец пути) и точки 1 (начало пути), и будем обозначать его просто DU. ТогдаDU =DU₂₁ = -DU₁₂

Приравнивая оба выражения для работы, получим дня напряжённости электрического поля выражение

Е_l = -DU/Dl.

В общем случае неоднородного поля обе точки 1 и 2 нужно выбирать до­статочно близко друг от друга, строго говоря, бесконечно близко, чтобы можно было считать E на Dl постоянной. В пределе при Dl®0, Е_l = -dU/dl. т.е.

проекция вектора напряжённости электрического поля на данное направление равна быстроте изменения потенциала в этом направлении, взятой с обратным знаком.

Или используя понятие градиента скалярной величины grad U:` = - grad U,

т.е. напряженность в какой-либо точке электростатического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком.

В общем случае потенциал U - функция всех трёх декартовых координат рассматриваемой точки поля, причёмgrad U = ( U/ X) + ( U/ Y) + ( U/ Z) .

Поэтому проекции вектора  на оси координат связаны с потенциаломполя т.o.: E_x = -  U/ X;E_Y = -  U/ Y;E_Z = -  U/ Z;

Если заряд перемещается в направлении dl, перпендикулярном силовой линии, т.е. перпендикулярно ` , то соs (Е,dl) = 0, Е_l = 0 и dU/dl = 0 или U=const.

Следовательно, во всех точках кривой, ортогональной к силовым линиям, потенциал одинаков.

Геометрическое место точек с одинаковым потенциалом называется эквипотен­циальной поверхностью.

Т.к. потенциал постоянен лишь вдоль кривых, ортогональных к сило­вым линиям поля, то и эквипотенциальные поверхности должны быть везде ортогональны к силовым линиям. Очевидно, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда по одной и той же эквипотенциальной поверх­ности , равна нулю.

Электрическое поле можно изобразить графически не только при помощи силовых линий, но и при помощи эквипотенциальных поверхностей. Вокруг каж­дой системы зарядов можно провести бесконечное множество эквипотен­циальных поверхностей. Обычно их проводят т.о., чтобы разности потен­циалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхно­стями были одинаковыми.

Зная расположение силовых линий электрического поля, можно построить эквипо­тенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно в каждой точке поля определить абсолютное значение и направление вектора напряжённости электростатического по­ли.

Густота эквипотенциальных линий пропорциональна напряжённости поля: там, где больше Е, там и эквипотенциальные линии расположены теснее друг к другу.

Геометр место точ с одинаковой потенциальностью наз эквипотен­циальной пов-ю.

Т.к. потенциал постоянен лишь вдоль кривых, ортогональных к сило­вым лин поля, то и эквипотенц пов-ти должны быть везде ортогональны к силовым линиям. Раб, совершпри перемещ эл заряда по одной эквипотенциальной пов-ти = 0.

Эл поле можно изобраз графич не только при пом силовых линий, но и при пом эквипотенц пов-тей. Вокруг каж­д сист зарядов можно провести бесконеч множ-во эквипотен­ц пов-тей. Обычно их проводят т.о., чтобы разности потен­ц между люб 2 соседн эквипотенц пов-ми были одинаковыми.

Зная располож силов лин эл поля, можно построить эквипо­тенц пов-ти. и, наоборот, по известн располож эквипотенц поверхностей можно в кажд точке поля определ абсолютн знач и направл вектора напряжённости электростат по­ля.

Густота эквипотенц линий пропорц напряж-ти поля: там, где больше Е, там и эквипотенц лин располож теснее друг к др.

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом —энергетической характеристикой поля. Работа по перемещениюединичного точечного положительного заряда из одной точки поля в другую вдоль осих при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу иx₁–x₂= dx, равнаE_xdx. Та же работа равна₁-₂=d. Приравняв оба выражения, можем записать

(85.1)

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осейyиz, можем найти вектор Е:

где i,j,k— единичные векторы координатных осей х, у,z.

Из определения градиента следует, что

т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля, как и в случае поля тяготения, пользуются эквипотенциальными поверхностями — поверхностями, во всех точках которых потенциал  имеет одно и то же значение.

Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно,  . Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае — концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда — радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного зарядаперпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Действительно, все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электростатические силы, действующие на заряд,всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор Евсегда нормален к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортогональны этим поверхностям.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности рас положены гуще, напряженность поля больше.

Итак, зная расположение линий напряженности электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля модуль и направление напряженности поля. На рис. для примера показан вид линий напряженности (штриховые линии) и эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей положительного точечного заряда (а) и заряженного металлического цилиндра, имеющего на одном конце выступ, а на другом — впадину (б).

Величина

называется потоком вектора напряженности через площадку dS,

гдеЕ_n—проекция вектора напряжённости на нормаль n к площадке dS.

Единица потока вектора напряженности электростатического поля — 1 В×м.

Примечание.Полный поток вектора напряжённости электрического поля определяется интегрированием выражения для «элементарного» потока через площадку dSпо всей поверхностиS.

Немецким ученым К. Гауссом (1777—1855) была доказана теорем, определяющая поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверх­ность.

В соответствии с выводами предыдущего раздела, поток вектора напряженности  сквозь сферичес­кую поверхность радиусаr, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре, будет равен

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы.

Действительно, если окружить сферу произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рисунок слева), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее.

Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее.

Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен Q/e₀, т. е. теорема Гаусса не теряет справедливости.

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей nзарядов.

Вводя суммирование под знак интеграла, записываем, что

Согласно закону Гаусса, каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен Q_i /e₀.Следовательно,

Полученная формула выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме:

поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произ­вольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e₀.

Примечание.В специальной литературе она также носит название теоремы Остроградского-Гаусса.

В общем случае электрические заряды могут быть размещены с некоторой объемной плотностью r=dQ/dV.. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, охватывающей некоторый объем V,

Используя эту формулу, теорему Гаусса можно записать так:

л ектростатическое поле можно задать, указав для каждой точки величину и направление вектора . Совокупность этих векторов образует поле вектора напряженности электростатического поля. Графическое изображение электростатического поля с помощью вектора напряженности в различных точках поля очень неудобно. Векторы напряженности при этом накладываются друг на друга, и получается весьма запутанная картина. Более наглядным является метод, предложенный М. Фарадеем изображения электростатических полей с помощью силовых линий напряженности.Силовые линии напряженности – это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора  .Линии напряженности направлены так же как вектор поля в рассматриваемой точке. Например, на рис.2 линии напряженности направлены слева направо. Линии напряженности не пересекаются, т.к. в каждой точке поля вектор имеет только одно определенное направление. Линии напряженности начинаются на положительном заряде и заканчиваются на отрицательном.Густота линий выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной к линиям напряженности, было равно численному модулю вектора  .Тогда по картине линий напряженности можно судить о направлении и значении вектора в разных точках пространства (рис. 2.1).

Однородным называется электростатическое поле, во всех точках которого напряженность одинакова по величине и направлению, т.е. Однородное электростатическое поле изображается параллельными силовыми линиями на равном расстоянии друг от друга (такое поле существует, например, между пластинами конденсатора) (рисунок ).

В случае точечного заряда, линии напряженности исходят из положительного заряда и уходят в бесконечность; и из бесконечности входят в отрицательный заряд. Т.к.  то и густота силовых линий обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда. Однако площадь поверхности сферы, через которую проходят эти линии сама возрастает пропорционально квадрату расстояния, поэтому общее число линий остается постоянным на любом расстоянии от заряда.

Для системы зарядов, как видим, силовые линии направлены от положительного заряда к отрицательному (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2

Из рисунка 2.3 видно, так же, что густота силовых линий может служить показателем величины  .

Густота силовых линий должна быть такой, чтобы единичную площадку, нормальную к вектору напряженности пересекало такое их число, которое равно модулю вектора напряженности , т.е.

Пример 1: если на рисунке 2.3 выделить площадку,  то напряженность изображенного поля будет равна

Рисунок 2.3

Пример 2: площадка  находится в однородном поле Сколько линий пересекает эту площадку, если угол составляет 30º (рисунок 2.4).

Рисунок 2.4