Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим результат сложения двух гар­монических колебаний одинаковой часто­ты , происходящих во взаимно перпенди­кулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты начало отсчета вы­берем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю:

Разность фаз обоих колебаний равна , А и В — амплитуды складываемых коле­баний.

Уравнение траектории результирую­щего колебания находится исключением из выражений (145.1) параметра t. За­писывая складываемые колебания в виде

и заменяя во втором уравнении cost на х/А и sint на (1-(х/A)²), получим по­сле несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произ­вольно:

Так как траектория результирующего ко­лебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически по­ляризованными.

Ориентация осей эллипса и его разме­ры зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз . Рассмотрим некоторые частные случаи, представляю­щие физический интерес:

1) =m(m=0, ±1, ±2,...). В дан­ном случае эллипс вырождается в отрезок

228

прямой

у=±(В/А)х, (145.3) где знак плюс соответствует нулю и четным значениям т (рис. 205, a), a знак минус — нечетным значениям т (рис. 205, б). Результирующее колеба­ние является гармоническим колебанием

с частотой  и амплитудой (A²+В²), совершающимся вдоль прямой (145.3), составляющей с осью х угол =

В данном случае

имеем дело с линейно поляризованными колебаниями.

В данном случае уравнение примет вид

229

Это уравнение эллипса, оси которого со­впадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис.206). Кроме того, если А=В, то эллипс (145.4) вырождается в окруж­ность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующе­го колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, со­вершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называютсяфигурами Лиссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 207 представлены фигуры Лисса­жу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указа­ны вверху).

Отношение частот складываемых коле­баний равно отношению числа пересече­ний фигур Лиссажу с прямыми, парал­лельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко исполь­зуемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых ко­лебаний, а также формы колебаний.

§ 50. Число степеней свободы молекулы. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул

Важной характеристикой термодинамиче­ской системы является ее внутренняя энергия U — энергия хаотического (тепло­вого) движения микрочастиц системы (молекул, атомов, электронов, ядер и т. д.) и энергия взаимодействия этих частиц. Из этого определения следует, что к внутрен­ней энергии не относятся кинетическая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях.

Внутренняя энергия — однозначная функция термодинамического состояния системы, т. е. в каждом состоянии система обладает вполне определенной внутренней энергией (она не зависит от того, как система пришла в данное состояние). Это

означает, что при переходе системы из одного состояния в другое изменение внут­ренней энергии определяется только раз­ностью значений внутренней энергии этих состояний и не зависит от пути перехода. В § 1 было введено понятие числа степеней свободы — числа независимых переменных (координат), полностью опре­деляющих положение системы в простран­стве. В ряде задач молекулу одноатомного газа (рис. 77, а) рассматривают как мате­риальную точку, которой приписывают три

89

степени свободы поступательного движе­ния. При этом энергию вращательного движения можно не учитывать (r—>0, J= mr²0, T_вр =J²/20).

В классической механике молекула двухатомного газа в первом приближении рассматривается как совокупность двух материальных точек, жестко связанных недеформируемой связью (рис. 77,б). Эта система кроме трех степеней свободы по­ступательного движения имеет еще две степени свободы вращательного движе­ния. Вращение вокруг третьей оси (оси, проходящей через оба атома) лишено смысла. Таким образом, двухатомный газ обладает пятью степенями свободы (i=5). Трехатомная (рис. 77,0) и многоатомная нелинейные молекулы имеют шесть степе­ней свободы: три поступательных и три вращательных. Естественно, что жесткой связи между атомами не существует. По­этому для реальных молекул необходимо учитывать также степени свободы колеба­тельного движения.

Независимо от общего числа степеней свободы молекул три степени свободы всегда поступательные. Ни одна из по­ступательных степеней свободы не имеет преимущества перед другими, поэтому на каждую из них приходится в среднем оди­наковая энергия, равная ¹/₃ значения <₀)в (43.8):

В классической статистической физике выводится закон Больцмана о равномер­ном распределении энергии по степеням свободы молекул:для статистической системы, находящейся в состоянии термо­динамического равновесия, на каждую по­ступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетиче­ская энергия, равная kT/2, а на каждую колебательную степень свободы — в сред­нем энергия, равная kT.Колебательная степень «обладает» вдвое большей энер­гией потому, что на нее приходится не только кинетическая энергия (как в слу­чае поступательного и вращательного дви­жений), но и потенциальная, причем сред­ние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы. Таким образом, средняя энергия молекулы

где i — сумма числа поступатель­ных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы:

i =i_пост+i_вращ+2i_колеб.

В классической теории рассматривают молекулы с жесткой связью между атома­ми; для них i совпадает с числом степеней свободы молекулы.

Так как в идеальном газе взаимная потенциальная энергия молекул равна ну­лю (молекулы между собой не взаимодей­ствуют), то внутренняя энергия, отнесен­ная к одному молю газа, будет равна сумме кинетических энергий N_A молекул:

Внутренняя энергия для произвольной массы т газа

где М — молярная масса, v — количе­ство вещества.

 Теплоёмкость тела характеризуется количеством теплоты, необходимой для нагревания этого тела на один градус:

(4.2.1)

       Размерность теплоемкости: [C] = Дж/К.

       Однако, теплоёмкость – величина неопределённая, поэтому пользуются понятиями удельной и молярной теплоёмкости.

       Удельная теплоёмкость (С_уд) есть количество теплоты, необходимое для нагревания единицы массы вещества на 1 градус [C_уд] = Дж/К.

       Для газов удобно пользоваться молярной теплоемкостью Cμ- количество теплоты, необходимое для нагревания 1 моля газа на 1 градус:

(4.2.2)

       [Cμ] = Дж/(моль×К).

       Из п. 1.2 известно, что молярная масса – масса одного моля:

       где А – атомная масса; m_ед - атомная единица массы; N_А - число Авогадро; моль μ – количество вещества, в котором содержится число молекул, равное числу атомов в 12 г изотопа углерода ¹²С.

       Теплоёмкость термодинамической системы зависит от того, как изменяется состояние системы при нагревании.

       Если газ нагревать при постоянном объёме, то всё подводимое тепло идёт на нагревание газа, то есть изменение его внутренней энергии. Теплоёмкость при этом обозначается С_V.

       С_Р – теплоемкость при постоянном давлении. Если нагревать газ при постоянном давлении Р в сосуде с поршнем, то поршень поднимется на некоторую высоту h, то есть газ совершит работу (рис. 4.2).

  Рис. 4.2

       Следовательно, проводимое тепло затрачивается и на нагревание и на совершение работы. Отсюда ясно, что  .

       Итак, проводимое тепло и теплоёмкость зависят от того, каким путём осуществляется передача тепла. Значит, Q и С не являются функциями состояния.

       Величины С_Р и С_V оказываются связанными простыми соотношениями. Найдём их.

       Пусть мы нагреваем один моль идеального газа при постоянном объёме(dA = 0). Тогда первое начало термодинамики запишем в виде:

,

(4.2.3)

       т.е. бесконечно малое приращение количества теплоты   равно приращению внутренней энергии dU.

       Теплоемкость при постоянном объёме будет равна:

,

(4.2.4)

       В общем случае

,

       так как U может зависеть не только от температуры. Но в случае идеального газа справедлива формула (4.2.4).

       Из (4.2.4) следует, что 

,

,

(4.2.5)

      Внутренняя энергия идеального газа является только функцией температуры (и не зависит от V, Р и тому подобных), поэтому формула (4.2.5) справедлива для любого процесса.

       Для произвольной идеальной массы газа:

,

(4.2.6)

       При изобарическом процессе, кроме увеличения внутренней энергии, происходит совершение работы газом:

.

.

(4.2.7)

       Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории  . При изобарическом процессе Р = const. Следовательно, из (4.2.7) получим:

.

(4.2.8)

      Это уравнение Майера для одного моля газа.

       Из этого следует, что физический смысл универсальной газовой постоянной в том, что R – численно равна работе, совершаемой одним молем газа при нагревании на один градус в изобарическом процессе.

       Используя это соотношение, Роберт Майер в 1842 г. вычислил механический эквивалент теплоты: 1 кал = 4,19 Дж.

       Полезно знать формулу Майера для удельных теплоёмкостей:

.

       или

.

(4.2.9)