9.2. Мощность

Фи зическая величина, характеризующая скорость совершения работы.

Мощность, развиваемая силой F

Равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с ко­торой движется точка приложения этой силы.

За время dt сила   совершает работу  , и мощность, развиваемая этой

силой, в данный момент времени равна 

♦Мощность — величина скалярная.

Единица мощности_

1 ватт — мощность, при которой за время 1 с совер­шается работа

1 Дж.

Механическая работа - мера действия силы, в результате которого тела совершают перемещение.

Потенциальное поле- это поле, в котором работа силы не зависит от формы пути, а зависит лишь от положений начальной и конечной точек траектории, а силы, действующие в нем, - консервативными.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ – при любых процессах, происходящих в консервативной системе, ее полная механическая энергия остается неизменной

Абсолютно неупругим называют такой удар, после которого скорости обоих соударяющихся тел оказываются одинаковыми. При упругом соударении тел тела претерпевают упругую деформацию. При этом кинетическая энергия движущихся тел частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию тел.

2. Динамика вращательного движения материальной точки и твердого тела Краткая теория

Эффективность воздействия силы  на тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, определяется векторным произведением:

, (2.1)

где  - радиус-вектор точки приложения силы,   - момент силы относительно оси вращения (рис. 2.1). На рис. 2.1. ось вращения проходит через точку О перпендикулярно плоскости рисунка. Модуль момента силы можно представить в виде:

,

где  -плечо силы относительно точки О (т. е. длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила). Рисунок 2.1 выполнен в предположении, что точка О, относительно которой берется момент силы  , и вектор лежат в плоскости рисунка. Вектор перпендикулярен к плоскости рисунка и направлен от нас.

Для отдельно взятой частицы момент импульса относительно точки О (рис. 2.2) определяется векторным произведением:

, (2.2)

где  - импульс частицы. Модуль вектора момента импульса можно представить в виде:

г

O

де - длина перпендикуляра, опущенного из точкиО на прямую, вдоль которой направлен импульс частицы. Эта длина называется плечом импульса относительно точки О.

l

Р

2.1

Рис.2.2. Наглядное изображение момента импульса  частицы массойm относительно точки О

и сунок 2.2. выполнен в предположении, что точкаО, относительно которой берется момент импульса  , и вектор лежат в плоскости рисунка. Вектор перпендикулярен к плоскости рисунка и направлен от нас.

Момент инерции J материальной точки относительно оси вращения равен произведению mмассы точки на квадрат расстояния r от этой точки до оси вращения:

. (2.3)

Момент инерции твердого тела относительно неподвижной оси называется физическая величина, характеризующая способность данного тела запасать количество вращательного движения (т. е. момента импульса  ):

, (2.4)

где w- угловая скорость. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения зависит от распределения массы данного тела вокруг выбранной оси и может быть рассчитан по формуле:

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

Тело	Ось, относительно которой определяется момент инерции	Формула момента инерции
Однородный тонкий стержень массой m и длиной l	Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню
	Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню
Тонкие кольцо, обруч, труба радиусом R и массой m	Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания
Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой m	Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания
Однородный шар массой m и радиуса R	Проходит через центр шара

Теорема Штейнера. Момент инерции J тела относительно произвольной оси:

, (2.6)

где J₀ – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно заданной оси;  - расстояние между осями;m – масса тела.

Основное уравнение динамики вращательного движения для изолированной материальной точки:

, (2.9)

Вывод основного закона вращательного движения

Рассмотрим вначале материальную точку А массой m, движущуюся по окружности радиусом г (рис. 1.16). Пусть на нее действует постоянная сила F, направленная по касательной к окружности. Согласно второму закону Ньютона, эта сила вызывает тангенциальное ускорение  илиF = ma_τ.

Используя соотношение a_τ = βr , получаем F = m βr.

Умножим обе части написанного выше равенства на r.

Fr = m βr ². (3.13)

Левая часть выражения (3.13) является моментом силы: М= Fr. Правая часть представляет собой произведение углового ускорения β на момент инерции материальной точки А: J= m r ² .

Угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции (основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки):

М = β J или  (3.14)

При постоянном моменте вращающей силы угловое ускорение будет величиной постоянной и его можно выразить через разность угловых скоростей:

(3.15)

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

или  (3.16)

[ —момент импульса (или момент количества движения), МΔt — импульс момента сил (или импульс вращающего момента)].

Основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

(3.17)

Связь вектора момента силы и момента импульса

Продифференцируем (10) по времени:

 (14)

Т.к. полюс неподвижен, то первое слагаемое равно нулю (т.к. первая производная перемещения по времени равна скорости). Тогда   коллинеарны, а произведение коллинеарных векторов равно нулю.

Поэтому   (15)

Согласно II закону Ньютона   , (16)

значит (15) будет иметь вид:

или   (17)

Кинетическая энергия и работа при вращательном движении.

Мысленно разобьем тело на малые частицы с массами m₁, m₂, …,m_nтак, чтобы линейные скорости материальных точек составляющих эти частицы можно было считать одинаковыми. Расстояния этих частиц от оси вращения, соответственно равныr₁,r₂, …,r_n, а скорости -v₁,v₂, …,v_n. Кинетическая энергия каждой частицы будет  а всего тела:

Заменим линейную скорость v_i ее выражением через угловую v_i = ωr_i.

.

Так как угловая скорость для всех точек тела одинакова, т.е. ω=const, то

Выражение , стоящее в скобках, есть сумма моментов инерции частиц тела, т.е. момент инерции J, и тогда вырaжение для кинетической энергии вращательного движения примет вид

E= J∙ω² /2,

Если тело участвует в двух движениях одновременно - в поступательном со скоростью vи вращательном со скоростью ω, то его полная кинетическая энергия равна

Работа внешней силы постоянной величины при вращении равна ΔA= т.е. равна произведению момента внешней силы на угол поворота . В общем случаеdA=Mdφи работа будет

Если М=const, тоA=M∙φ. Эта работа затрачивается на изменение кинетической энергии вращающегося тела