 Поле бесконечной заряженной нити

Рассмотрим поле, созданное зарядом, равномерно распределенным по бесконечной нити. Эту задачу мы решили на прошлой лекции, воспользовавшись принципом суперпозиции электрических полей (см. 1.11).

Теперь покажем, несколько проще можно рассчитать это поле с помощью теоремы Гаусса.

Определим напряжённость поля на расстоянии r от нити, заряженной с постоянной линейной плотностью  :

, [Кл/м]                     (2.10)

Окружим нить замкнутой цилиндрической поверхностью (рис. 2.7.). Высота цилиндра — h, а радиус его основания — r.

Рис. 2.7.

Поле, созданное заряженной нитью, обладает цилиндрической симметрией. В связи с этим векторы напряжённости во всех точках боковой поверхности цилиндра будут одинаковы по модулю и направлены радиально, то есть перпендикулярно к боковой поверхности цилиндра. На основаниях цилиндра векторы  , направленные по-прежнему радиально, «скользят» по основанию, образуя прямой угол с нормалью  .

Вычислим поток вектора   через поверхность выбранного цилиндра. Полный поток через эту замкнутую «гауссову» поверхность складывается из потока через боковую поверхность цилиндра и через два его основания:

Последние два интеграла равны нулю, так как «скользящие» по основаниям цилиндра векторы   не пронизывают их и не создают никакого потока. Формально эти два интеграла равны нулю, так как между векторами   и   прямой угол и  . Таким образом

Во всех точках боковой поверхности цилиндра E =Е_r = const и  .

Поэтому поток через боковую поверхность цилиндра равен

                   (2.11)

Это поток вектора напряжённости электрического поля, вычисленный по определению потока.

Теперь воспользуемся теоремой Гаусса, отметив предварительно, что «заряд, заключённый внутри гауссовой поверхности» в данном случае сосредоточен на отрезке нити h — на оси цилиндра:

Таким образом

                   (2.12)

Отсюда теперь легко получить знакомую нам гиперболическую зависимость напряжённости поля от расстояния до нити — r (см. 1.11).

       

5. Поле, образованное заряженной сферической поверхностью

Ра ссмотрим поле, создаваемое сферической поверхностью радиусаR, заряженной с постоянной поверхностной плотностью . Это поле обладает центральной симметрией. Это означает, что направление вектора в любой точке проходит через центр сферы, а значение напряженности является функцией расстоянияrот центра сферы (рис. 2.17). Найдем напряженность поля, созданную заряженной сферой в точках А и В. Через точки А и В проведем сферические поверхности и найдем поток вектора напряженности через эти поверхности.

Точка Внаходится внутри заряженной сферической поверхности, на расстоянииrот центра (r<R). Сферическая поверхность, проведенная через эту точку, не будет содержать внутри заряда. Следовательно, по теореме Гаусса , напряженность в точкеВбудет равна нулю.Е=0 (r<R) (рис. 2.17).

Найдем напряженность поля, созданного заряженной сферической поверхностью в точке А, находящейся на расстоянииrот центра сферы. Окружим заряженное тело замкнутой сферической поверхностью, радиуса r, проходящей через точкуА(рис. 2.17).

Для всех точек этой поверхности  . Внутрь поверхности попадает весь зарядq, создающий рассматриваемое поле. Следовательно, (так как ).

Таким образом, напряженность поля в точках, расположенных на расстоянии r>R, равна

(8)

Поле вне заряженной сферической поверхности имеет такой же вид, как поле точечного заряда q, находящегося на расстоянииrот точкиА. Если известна поверхностная плотность заряда σ, то , подставив в (8), получим

. (9)

В статическом случае напряженность электрического поля внутри проводника равна нулю.

Если внутри проводника Е=0, то внутри проводника должны выполняться условия ϕ=const и ρ=0 (ρ − объемная плотность заряда).

Таким образом, свободные заряды в проводнике могут быть распределены только на его поверхности.

Напряженность электрического поля вблизи поверхности проводника направлена перпендикулярно его поверхности.