1.3. Локальное поле

Рассматривая диэлектрический материал на молекулярном уровне, мы начинаем сознавать, что электрическое поле внутри него меняется от точки к точке вследствие взаимодействия полей диполей, наведенных на каждой из молекул внешним полем. Хотя электрическое поле, усредненное по объему, достаточно большому по сравнению с размерами молекул (что эквивалентно электрическому полю в классической континуальной модели [8]), может быть однородным. Поле, действующее на отдельный поляризуемый объект, атом или молекулу, называется локальным полем E^L и является важным понятием, связывающим наблюдаемое поведение материала как целого со свойствами составляющих его атомов или молекул.

При расчете локального поля удобно разделить его на две основные компоненты:

(1.21)

где Е^С – поле, обусловленное зарядами на электродах, благодаря которым внешнее поле существует в материале, и ∑Е^D – сумма полей всех молекулярных диполей, за исключением диполя молекулы, находящейся в рассматриваемой точке образца. Решение в общем виде затруднено, поскольку для бесконечно большого образца сумма ∑Е^D не сходится, а также зависит от формы образца. Подход, впервые использованный Лоренцом и сыгравший важную роль в развитии теории диэлектриков, основан на следующей простой модели. Рассмотрим образец материала, помещенный между электродами плоского конденсатора, как показано на рис. 1.5, и сферу вокруг некоторой молекулы с центром в точке А. Локальное поле в точке А запишется в виде

, (1.22)

где сумма ∑Е^D разделена на составляющие Е^Р – от части образца, лежащей вне сферы, и Е^М – от образца внутри сферы. Если радиус сферы мал по сравнению с размером конденсатора, но велик в сравнении с молекулой, допустимо рассчитывать Е^Р в рамках классической электростатики, рассматривая материал вне сферы как сплошную среду с диэлектрической проницаемостью ε. Дискретную структуру материала необходимо учитывать лишь при вычислении Е^М. Рассмотрим теперь компоненты локального поля в отдельности.

Плотность заряда на электродах, как показано ранее, равна (Q + Р), поэтому величина поля за счет этого источника запишется в виде

. (1.23)

Подставляя Q из уравнения (1.2), получаем

, (1.24)

где Е внешнее поле (Е = V/d).

Поле в точке А от поляризации материала вне сферы в свою очередь можно разделить на две части, обусловленные кажущимися поверхностными зарядами, индуцированными этим полем на границах области. Первая часть обусловлена кажущимися зарядами с плотностью – Р и +Р на поверхности электродов и равна Р/ε_о. Вторая часть обусловлена кажущимися зарядами с плотностью Pcosθ на поверхности рассматриваемой сферы, где θ – угол, показанный на рис. 1.5, и может быть получена интегрированием по элементам поверхности между углами θ и (θ + dθ). Площадь такого элемента равна 2πr²sinθdθ.

Рис. 1.5. Модель Лоренца для локального поля

По соображениям симметрии поля, перпендикулярные Р в центре сферы, взаимно уничтожаются и полное поле в направлении Р становится равным

. (1.25)

Отсюда имеем

(1.26)

_E^M _– поле в точке А от молекул внутри сферы, это поле зависит от конкретного их расположения. Для некоторых специальных случаев, например кубических решеток и полностью случайного распределения,

_E^M _{= 0.} (1.27)

В этих случаях окончательно имеем для локального поля в точке А:

, (_1.28)

т. е. E^L = E + P/3ε_o.

Подставляя Р из уравнения (1.5), получаем [4]

. (1.29)