25.Степенные ряды. Определения, св-ва.

Опр. степенным рядом наз-ся функциональный ряд вида C0+C1*x+C2*x^2+...Cn*X^n или , где Cn=f(n) коэффиценты степенного ряда (в формуле An заменить на Cn - константа)

Дан ряд.

Если выполняются условия:

1) Ряд знакочередующийся.

2) a1>a2>a3>...>an => ряд сходится.

26. Теория Абеля. Радиус и интеграл сходимости.

Теорема Абеля: Пусть степенной ряд ∑ С_nxⁿ сходится при х=х₁, тогда ряд сходится при всех х, таких что: │х│ < х₁

Следствие: Если степенной ряд расходится при х=х₂, тогда ряд расходится при всех х,

таких что: │х│ < х₂

Из теоремы Абеля следует, что существует вещестченное число R>0, такое, что степенной ряд

∑ С_nxⁿ сходится при │х│<R и расходится при │х│>R при х= R ряд может и сходиться и расходиться

Интервал (-R; R) называется интервалом сходимости, R называется радиусом сходимости.

Применяя к ряду ∑ С_nxⁿ признаки Даламбера и Каши, получим при C_n≠0, R= и

R=

Если среди коэффициентов Cn естьравные нулю, то надо непосредственно к ряду применять признаки Даламбера и Коши

Замечания:

Степенной ряд сходится при х=0, т.к. =0

Если R= , то от (- , )- интервал сходимости

Если R=0, то степенной ряд сходится только при х=0

Ряд, вида ∑ С_n(x-х₀)ⁿ является степенным рядом, ведь (x-х₀)ⁿ=уⁿ, тогда интервал сходимости выглядит так –R+x₀<x<R+x₀

Там, где степенной ряд сходится, он сходится абсолютно

27. Правило суммы и произведения.

Правило суммы: Если объект A можно выбрать m способами и независимо от его выбора, объект B можно выбрать k способами, тогда объект А или В можно выбрать (m+k) способами.

Правило произведения: Если объект А можно выбрать m способами и для каждого его выбора объект В можно выбрать kспособами, то объект А и В(одновременно) можно выбрать mk способами.

Правило суммы и произведения можно применять на конечное число объекта

28. Размещение: Комбинация длиной m отличается друг от друга составом элементов и их порядком расположения называется размещением из n по m.

Число размещений из n по m (без повторов) обозначается:

С повторением:

Сочетание: Комбинации длиной m отличающиеся друг от друга только составом элементов называется сочетанием из n по m.

Число сочетаний из n по m ( без повт.) обозначается:

С повторением:

Перестановка: Перестановками из n элементов называются соединения, каждое из которых содержит все n элементов, отличающихся поэтому друг от друга только порядком расположения элементов.

Без повторений: Р_n = n (n - 1)(n - 2)- ... • 3•2•1 = n!

С повторениями:

29 Классическая вероятность

Вероятностью P(A) события А называется отношение числа благоприятствующих исходов испытания событию А к числу всех исходов испытания P(A)=m/n - формула классической вероятности

30 Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть В1+В2+…+Вn=ῼ. Bi+Bj-не совместные события.i= , j= . i‡j.Пусть событие А наступает одновременно с событием Bi= Тогда P(A)= где P(A/Bi)- вероятность события А, при условии , что наступило собитие Bi. P(A/Bi)- условная вероятность.

P(n)= –формула полной вероятности ,

Следствия: - формула Байеса

31) Схема Бернулли

Схемой Бернулли называется выполнение 3х условий:

1. Проводится n независимых испытаний

2. Каждое испытание имеет 2 исхода: рассматриваемое событие наступило – удача или не наступило – неудача

3. Вероятность успеха должна быть постоянной для всех испытаний.

Если схема Бернулли имеет место, то можно применять формулу Бернулли.

32) Формула Бернулли

P_n(k) - Вероятность того, что в n испытаниях удача наступила k раз

С_n^k - число сочетаний

p - вероятность удачи

q=1-p – вероятность неудачи

33. Локальная и интегральная формулы Лапласа.

Локальная формула Лапласа:

- табулируемая функция.

Интегральная формула Лапласа:

Pn(m1 ⩽ m ⩽ m2) ≈ Ф(х2) – Ф(х1) , где

- функция Лапласа

Ф(х) – Табулируемая функция ,

Ф(-х) = - Ф(х)

При х ⩾ 5 функция Лапласа ≈ 0,5

34. Формула Пуассона

λ = np; p → 0; n → ∞

Определение: Наивероятнейшим числом называется число наступлений рассматриваемого события с наибольшей вероятностью.

Имеет место : np – q < m0 ⩽ np + q