9. Ду, допускающие понижение порядка (2 случая)

1) ДУ вида (1)

Для решения ДУ (1) надо проинтегрировать уравнение n-раз

2) ДУ вида y’’=f (x, y’) ( то есть правая сторона не зависит от у)

Полагаем, y’=p, p=p(x) – неизвестная функция. Следовательно, y’’’=p’

Подставим y’, y’’ в уравнение: p’=f(x,p), то есть ДУ первого порядка

10. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

y’’+py’+qy=0 (1), где p,q –заданные числа

Теорема (структура общего решения ЛОДУ): Пусть - линейно независимые частные решения уравнения (1), тогда -общее решение уравнения(1), где -произвольные постоянные

Рассмотрим:

Полагаем => =>

Следовательно, является решением уравнения (1), если (2) – характеристическое уравнение

Возможны три случая:

1. D>0 => . Тогда из теоремы следует - общее решение

2. D=0 => k1=k2 – действительные корни уравнения (2). Тогда - общее решения (1)

3. D<0 => - комплексносопряженные корни. Тогда,

11. Линейные неоднородные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида , где

p, q – заданные действительные числа

f(x) – заданная функция

12. Определение двойного интеграла, его свойства

Если существует конечный предел интегральной суммы при n–> , не зависящий от способа разбиения i области D и выбора точек (x_i,y_i), то этот предел называют двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

Обозначение: , т.е.

Свойства:

3.

Пусть D=D1 ∪ D2(объединение), D1 ⋂D2 – линия

Тогда

13. Вычисление двойного интеграла Обознач. Опр. Если существует конечный предел сумма (ВМЕСТО k БУКВА i) при n ∞, независимо от способа разбиения области D и выбора точек (x_i,y_i), то предел называеют двойным интегралом от функции f(x,y) по области D.

Область первого типа( область правильная относительно оси ОY) Область второго типа( область правильная относительно оси OX) Формула перехода к полярным координатам

К полярным координатам рекомендуется переходить, если1) подынтегральная функция зависит от x²+ y², т.е f(x²+y²) в область D входит окружность или ее часть.

14.Приложения двойного интеграла Замечание: Цилиндрическое тело- тело, ограниченное сверху - поверхность z=f(x,y) снизу – областью D с боков – поверхностью с образующей пар. Оси OZ

15. Определение тройного интеграла и его свойства.

Тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V называется конечный предел трехмерной интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму (если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V  на элементарные части, ни от выбора точек на каждой из этих элементарных частей):

здесь n – это количество элементарных частей разбиения области V;  P_i (x_i,y_i,z_i) – произвольно выбранная точка на каждой элементарной части,

 i = 1,...,n;

 — ранг разбиения;  – диаметр i-ой элементарной части.

Достаточное условие существования тройного интеграла

Если функция f (x,y,z) непрерывная в замкнутой области V, то   существует

Основные свойства тройного интеграла

Пусть функции f(x,y,z) и g(x,y,z) интегрируемы в области U. Тогда справедливы следующие свойства:

1. ∭U[f(x,y,z)+g(x,y,z)]dV=∭Uf(x,y,z)dV+∭Ug(x,y,z)dV; 

2. ∭U[f(x,y,z)−g(x,y,z)]dV=∭Uf(x,y,z)dV−∭Ug(x,y,z)dV; 

3. ∭Ukf(x,y,z)dV=k∭Uf(x,y,z)dV, где k - константа;

4. Если f(x,y,z)≤g(x,y,z) в любой точке области U, то ∭Uf(x,y,z)dV≤∭Ug(x,y,z)dV;

5. Если область U является объединением двух непересекающихся областей U1 и  U2, то  ∭Uf(x,y,z)dV=∭U1f(x,y,z)dV+∭U2f(x,y,z)dV;

6. Пусть m - наименьшее и M - наибольшее значение непрерывной функции f(x,y,z) в области U. Тогда для тройного интеграла справедлива оценка:  m⋅V≤∭Uf(x,y,z)dV≤M⋅V,  где V - объем области интегрирования U.

7. Теорема о среднем значении тройного интеграла. Если функция f(x,y,z) непрерывна в области U, то существует точка M0∈U, такая, что  ∭Uf(x,y,z)dV=f(M0)⋅V,  где V - объем области U.