Типовые

42

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения y=y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным краевым условиям (задача Штурма-Лиувилля).

Решение.

Произведем замену переменных t=x-1/2, тогда

dy = dy dt = dy d (x − 1/ 2) = dy ,

Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр l отрицателен, равен нулю или положителен.

1. λ<0.

Пусть l=-m, где m>0. Тогда общее решение уравнения (2) имеет вид

y(t) = C1 exp(μt) + C2 exp(-μt) .

Граничные условия дают:

y'(t) = μ (C1 exp(μt) - C2 exp(-μt)),

Но в рассматриваемом случае m - действительно и положительно, так что

(exp(μ ) + exp(-μ ))¹ 0 .

Поэтому

С1=0, С2=0

и, следовательно, y(t)=0, но тривиальные решения нас не интересуют.

2. λ=0.

Общее решение уравнения (2) имеет вид

y(t) = C1t + C2 .

Граничные условия дают:

y'(t) = C1 , y'(0) = C1 = 0 ,

y(1) = C1 ×1+ C2 = 0 ×1+ C2 = C2 = 0 ,

т.е. С1=0, С2=0 и, следовательно,

y(t)=0.

3. λ>0.

Общее решение уравнения может быть записано в виде

43

y(t) = Acos(lt) + B sin(lt) .

Граничные условия дают:

где n=0, 1, 2, … . Следовательно, нетривиальные решения задачи (2) возможны лишь при значениях

Тогда классификация дифференциальных уравнений второго порядка строится в соответствии с классификацией кривых второго порядка:

44

Решения уравнений (5) называются характеристиками уравнения (3) которые и определяют замену переменных для приведения уравнения к каноническому виду.

Первый интеграл для последнего уравнения есть C=x+7y, поэтому произведем замену

переменных

ξ=x+7y,

η=y.

Тогда получим

ux=uξξx+uηηx= uξ, uxx=(uξ)ξ ξx+(uξ)ηηx= uξξ, uy=uξξy+uηηy=7uξ+ uη,

uyy=(7uξ+ uη)ξξy+(7uξ+ uη)ηηy==49uξξ+7uηξ+7uξη+ uηη=49uξξ+14uηξ+uηη,

uxy=(uξ)ξξy+(uξ)ηηy==7uξξ+uηξ.

Подставляя в исходное дифференциальное уравнение выражения для производных

49uxx-14uxy+uyy+14ux-2uy=0,

49 uξξ-14(7uξξ+uηξ)+49uξξ+14uηξ+uηη+14 uξ-2(7uξ+ uη)=0

получим канонический вид уравнения

uηη+2uη=0

45

с решением

u(h,x)=С1(x)+С2(x)exp(-2h).

Возвращаясь к старым переменным, общее решение исходного уравнения запишем в виде u(x,y)=С1(x+7y)+С2(x+7y)exp(-2y),

где С1(x), С2(x) – произвольные, дважды непрерывно дифференцируемые функции.

Задача 3. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.

Для определения характеристик мы получили два уравнения

4dy-12dx=0,

4dy+2dx=0

с решениями

С1=12x-4y, C2=2x+4y.

Произведем замену переменных

ξ=12x-4y, η=2x+4y.

Тогда получим ux=uξxx+uηhx= uξ12+uη2,

uxx=(uξ12+uη2)ξ 12+(uξ12+uη2)η2=uξξ122+uηξ24+uξη24+uηη4=122uξξ+48uηξ+4uηη, uy=uξxy+uηhy=-4uξ+4uη, uyy=(-4uξ+4uη)ξxy+(-4uξ+4uη)ηhy=-4(-4uξ+4uη)ξ+4(-4uξ+4uη)η=16uξξ-32uηξ+16uηη, uxy=(uξ12+uη2)ξxy+(uξ12+uη2)ηhy=-4(uξ12+uη2)ξ +4(uξ12+uη2)η=-48 uξξ+40 uηξ+8 uηη.

Подставляя в исходное дифференциальное уравнение выражения для производных

2uxx+5uxy-3uyy=0, 2(122uξξ+48uηξ+4uηη)+5(-48 uξξ+40 uηξ+8 uηη)-3(16uξξ-32uηξ+16uηη)=0

получим канонический вид уравнения

382uηξ=0

с решением

u(h,x)=С1(x)+С2(h).

Возвращаясь к старым переменным, общее решение исходного уравнения запишем в виде u(x,y)=С1(12x-4y)+С2(2x-4y).

46

Задача 4. Решить смешанную задачу.

ut = 9u xx ;

u(x,0) = 31sin(3πx);

u(0, t) = u(1, t) = 0.

Решение.

Будем искать (не равное нулю) решение уравнения в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая – только от t, т.е.

u(x,t) = X (x)T (t).

Подставляя это выражение в уравнение

ut = a 2u xx

имеем

X (x)T '(t) = a 2 X "(x)T (t) .

Здесь a 2 = 9 . После деления на X(x)T(t) получим:

Это равенство двух отношений, зависящих только от x и только от t, возможно только в случае, если оба отношения равны постоянному числу - l. (l>0):

т.е.

X”(x)+ λX(x)=0,

T’(t)+λ a 2 T(t)=0.

Первое уравнение системы с граничными условиями

X”(x)+ λX(x)=0,

X(0)=X(1)=0

представляет собой задачу Штурма-Лиувилля на отыскание собственных функций и собственных значений дифференциального оператора (см. задачу 1). Из общего решения уравнения

X(x) = A cos(λ x) + B sin(λ x)

сиспользованием краевых условий

X (0) = (A cos(0) + B sin(0)) = A cos(0) = A ×1 = 0 A = 0 ,

X (1) = B sin(1× λ ) = 0 .

находим собственные значения

λ = λn = (πn)2

и собственные функции

X n (x) = Bn sin(nπx).

47

Второе уравнение системы

T’(t)+λ a 2 T(t)=0

имеет решение

T (t) = C exp(−λa 2t) .

Таким образом, общее решение исходного уравнения принимает вид un (x, t) = X (x)T (t) = Cn exp(−(πna)2 t) sin(πnx) .

Поскольку при любых n полученная функция является решением нашего дифференциального уравнения, то и сумма этих решений так же будет являться решением исходного дифференциального уравнения:

u(x, t) = ∑Cn exp(−(πna) 2 t) sin(πnx) .

n

Подставляя сюда начальное условие

u(x,0) = ∑Cn sin(πnx) = 31sin(3πx)

n

мы видим, что все константы Cn=0 кроме C3=31. Поэтому окончательный ответ имеет вид

u(x, t) = 31exp(−(3πa) 2 t) sin(3πx) = 31exp(−81π 2t) sin(3πx) .

Задача 5. Решить смешанную задачу.

ut = 2u xx ;

u(x,0) = 31cos(3πx) + cos(4πx);

u x (0, t) = u x (6, t) = 0.

Решение.

Будем искать (не равное нулю) решение уравнения в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая – только от t, т.е.

u(x,t) = X (x)T (t).

Подставляя это выражение в уравнение

получим систему

X”(x)+ λX(x)=0,

T’(t)+λ a 2 T(t)=0.

Первое уравнение системы с граничными условиями:

X”(x)+ λX(x)=0,

X’(0)=X’(6)=0

представляет собой задачу Штурма-Лиувилля на отыскание собственных функций и собственных значений дифференциального оператора (см. задачу 1). Из общего решения уравнения

48

X (x) = A cos(λ x) + B sin(λ x) ,

X'(x) = λ (- Asin(λ x) + B cos(λ x))

сиспользованием краевых условий

X '(0) = λ (- Asin(0) + B cos(0)) = λ B cos(0) = B ×1 = 0 B = 0 ,

X '(6) = Asin(6 × λ ) = 0 .

находим собственные значения

λ = λ = πn 2 n 6

и собственные функции

Второе уравнение системы:

T’(t)+l a 2 T(t)=0

имеет решение

T (t) = C exp(-λa 2t) .

Таким образом, общее решение исходного уравнения принимает вид

Поскольку при любых n полученная функция является решением нашего дифференциального уравнения, то и сумма этих решений так же будет являться решением исходного дифференциального уравнения:

мы видим, что все константы Cn=0 кроме C18=31 и C24=1. Поэтому окончательный ответ имеет вид

u(x, t) = 31exp(-(3πa)2 t) cos(3πx) + exp(-(4πa)2 t) cos(4πx)

.

u(x, t) = 31exp(-18π 2t) cos(3πx) + exp(-32π 2t) cos(4πx)

50

u(x,0) = ∑Cn sin((2n + 1)πx) = 3sin(3πx)

n

мы видим, что все константы Cn=0 кроме C1=3. Поэтому окончательный ответ имеет вид

u(x, t) = 3exp(−(3πa) 2 t) sin(3πx) . u(x, t) = 3exp(−63πt) sin(3πx)

Задача 7. Решить смешанную задачу.

ut = 5u xx ;

u(x,0) = 7 sin(3πx) − 4 − 5x; u(0, t) = −4;u(1, t) = −9.

Решение.

Введем новую функцию w = w(x, t) , связанную с u(x,t):

u(x, t) = w(x, t) + γ 1 x + γ 2 .

Подберем коэффициенты γ1 и γ2 так, чтобы соответствующее дифференциальное уравнение для w(x, t) = u(x, t) − γ 1 x − γ 2 :

Подставляя сюда вместо u(0,t) и u(1,t) соответствующие граничные условия получим

систему уравнений для определения γ1 и γ2.

− 4 − γ 2 = 0 . − 9 − γ 11 − γ 2 = 0

Откуда γ2=-4, γ1=-5 и наша новая функция имеет вид w(x, t) = u(x, t) + 5x + 4 . Таким образом, нам необходимо найти решение смешанной задачи для функции w = w(x, t) :

wt = 5wxx

w(x,0) = 7 sin(3πx); w(0, t) = w(1, t) = 0;

Будем искать (не равное нулю) решение уравнения в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая – только от t, т.е.

w(x, t) = X (x)T (t).

Подставляя это выражение в уравнение

получим систему

X”(x)+ λX(x)=0,

T’(t)+λ a 2 T(t)=0.

Первое уравнение системы с граничными условиями:

X”(x)+ λX(x)=0,

X(0)=X(1)=0

представляет собой задачу Штурма-Лиувилля на отыскание собственных функций и собственных значений дифференциального оператора (см. задачу 1). Из общего решения